Markovian models for resource sharing

Modèles markoviens de ressources partagées

Florence Forbes (1)

1 LMC - IMAG - Laboratoire de Modélisation et Calcul

Depending on the application context, many different ways of modelling resource sharing situations have been proposed. Dijkstra's Dining Philosophers Problem is one of the first systematic attempts in the area. It was then generalized by Chandy and Misra who proposed the Drinking Philosophers Problem. We consider Markovian versions of these situations. The aim is to analyse the performances of the underlying systems through their behaviour at equilibrium. This study fits into the context of Markov fields on graphs and some general material on Markov properties is presented. New Markovian models for resource sharing are introduced. They can be viewed as interacting particle systems. Mathematical techniques of treatment such as reversibility and stochastic comparison techniques are proposed for these models. For finite systems, explicit calculations of measures at equilibrium are given. Systems increasing in size and complexity can be approximated by infinite systems. For such systems on graphs built from a tree, we show that phase transition phenomena may occur.

Selon les domaines d'applications, différentes façons de modéliser le partage de ressources ont été envisagées. Un des premiers modèles apparus est issu du "Dining Philosophers Problem" de Dijkstra, généralisé par la suite par Chandy et Misra à travers le "Drinking Philosophers Problem". Nous nous intéressons à des versions markoviennes de ces situations, dans lesquelles les durées pour la prise et l'utilisation des ressources sont aléatoires. L'évaluation puis l'optimisation des performances des systèmes de ressources partagées nous conduit à étudier l'équilibre de ces modèles. Cette étude s'inscrit dans le contexte des propriétés de Markov des champs aléatoires sur les graphes dont nous présentons quelques résultats généraux. Nous utilisons également le formalisme des systèmes de particules. Nous introduisons une nouvelle classe de modèles markoviens de ressources partagées pour lesquels nous généralisons des outils classiques. Nous présentons des résultats de réversibilité et envisageons des techniques de comparaison stochastique. Pour des systèmes finis, nous donnons quelques calculs explicites de mesures d'équilibre. Des systèmes qui augmentent en taille et en complexité peuvent être approchés par des systèmes infinis. Pour des systèmes sur des graphes infinis construits à partir d'un arbre, nous mettons en évidence des phénomenes de transition de phase.

Mots clés: resource sharing; Markov processes; Markov properties; particle systems; stochastic comparison; reversibility; phase transition; philosophers process; Cartesian products of graphs

Mots clés: ressources partagées; processus de Markov; propriétés de Markov; systèmes de particules; comparaison stochastique; réversibilité; transition de phase; processus des philosophes; produits cartésiens de graphes

Domaines: Modélisation et simulation; Mathématiques [math]

Florence Forbes. Modèles markoviens de ressources partagées. Modélisation et simulation. Université Joseph-Fourier - Grenoble I, 1996. Français. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-00004991⟩