Direct numerical simulation of complex Representative Volume Elements (RVEs): Generation, Resolution and Homogenization
Simulation numérique de Volumes Élémentaires Représentatifs (VERs) complexes : Génération, Résolution et Homogénéisation
Résumé
The influence of microstructural heterogeneities on material processing is an issue of prime importance, which explains the need to generate a digital material, statistically equivalent to the considered microstructure, and to connect this digital description to finite element (FE) calculations. For this reason, a multi-physical virtual microstructure generator which can simultaneously generate cells and spherical particles is created. This generator is based on Laguerre tessellations and advancing front method, level-set description of interfaces and anisotropic meshing adaptation. The capability of its tools to respect statistical data could be insured by the advancing front method coupled with an optimization procedure depending on the nature of the considered microstructure. Moreover, a graph coloration technique is applied in order to reduce the number of level-set functions used in anisotropic mesh adaptation. Furthermore, the high cost of a fully coupled micro-macro simulation can be significantly reduced when restricting the attention to a fully uncoupled analysis. In this context, the response of the Representative Volume Element (RVE) when subject to a given macroscopic loading path is of the main interest. RVEs of elastic Voronoï honeycombs and fiber arrays are considered in the manuscript. The first is used to simulate the compression of an elastic foam subject to a biaxial load. In this case, a fluid structure interaction (FSI) problem occurs between a compressible fluid, the air inside the foam's cells, and an elastic compressible solid, the foam's skeleton. A monolithic formulation is used for solving this problem where a single grid is considered and one set of equations with different material properties is solved. Such strategy gives rise to an extra stress tensor in the Navier-Stokes equations, which are solved by a mixed finite element method with a P1+/P1 interpolation, coming from the presence of the structure in the fluid. The second RVE is used to compute the permeability of disordered fiber arrays. In this case, flows through unidirectional fibrous media are simulated and the fibers are considered as rigid discs. Also, a monolithic formulation is used for solving this problem. Therefore the Stokes equations are solved in the whole domain using a penalization method. After using volume average techniques, Darcy's law is obtained giving the possibility to compute the permeability tensor.
L'influence des hétérogénéités microstructurales sur le comportement d'un matériau est devenue une problématique industrielle de première importance, cet état de fait explique l'engouement actuel pour la prise en compte de ces hétérogénéités dans le cadre de la modélisation numérique. Ainsi, de nombreuses méthodes pour représenter de manière digitale un matériau virtuel statistiquement équivalent à la microstructure réelle et pour connecter cette représentation à des calculs éléments finis se sont développées ces dernières années. Les travaux réalisés durant cette thèse s'inscrivent en grande partie dans cette thématique. En effet, un générateur de microstructures virtuelles permettant de générer à la fois des microstructures polyédriques ou sphériques a été développé. Ce générateur est basé sur les diagrammes de Laguerre et une méthode frontale de remplissage, une approche level-set pour l'immersion de ces microstructures dans un maillage éléments finis et une technique d'adaptation anisotrope de maillage pour assurer une grande précision lors de cette immersion mais également lors de la réalisation de simulations éléments finis sur ces microstructures. La capacité de ces outils à respecter des données statistiques concernant les microstructures considérées est assurée par le couplage d'une méthode frontale à une méthode d'optimisation des défauts locaux selon la nature de la microstructure considérée. Une technique de coloration de graphe est également appliquée afin de limiter le nombre de fonctions level-set nécessaires à l'adaptation de maillage. En outre, le coût élevé d'une simulation micro-macro entièrement couplée peut-être significativement réduite en limitant les calculs à une analyse entièrement découplée. Dans ce contexte, la réponse d'un Volume Élémentaire Représentatif (VER) soumis à des conditions aux limites représentatives de ce que subit la matière en un point précis d'un calcul macroscopique reste l'approche la plus complète à l'heure actuelle. Dans le cadre de ce travail, nous nous sommes intéressés à deux types de VER pour deux applications différentes : la déformation de VERs de mousses polyédriques élastiques et le calcul du tenseur de perméabilité pour des VERs composés de fibres cylindriques hétérogènes mais monodirectionnelles. Plus précisément, pour la première de ces applications, des cas de compression biaxiale de mousses élastiques à cellules fermées en nids d'abeille ou irrégulières sont modélisés comme un problème d'interaction fluide structure (IFS) entre un fluide compressible (l'air à l'intérieur des cellules) et un solide élastique compressible (le squelette de la mousse). Une formulation monolithique est utilisée pour résoudre ce problème en regroupant les équations d'états régissant le solide et le fluide en un seul jeu d'équations résolu sur un maillage unique discrétisant les deux phases. Une telle stratégie donne lieu, pour la partie solide, à l'apparition d'un tenseur d'extra-contrainte dans les équations de Navier-Stokes. Ces équations sont ensuite résolues par une méthode éléments finis mixte avec une interpolation de type P1+/P1. Concernant la deuxième application, des écoulements dans des milieux fibreux sont simulés en considérant les fibres comme rigides. Ici encore, une formulation monolithique est adoptée. Ainsi, les équations de Stokes sont résolues sur l'ensemble du domaine de calcul en utilisant une méthode de pénalisation. Par homogénéisation, la loi de Darcy est utilisée pour obtenir le tenseur de perméabilité.
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