On the Robustness of the Snell envelope

Pierre del Moral (1) , Peng Hu (1) , Nadia Oudjane (2, 3) , Bruno Rémillard (4)

1 ALEA - Advanced Learning Evolutionary Algorithms
2 LAGA - Laboratoire Analyse, Géométrie et Applications
3 EDF - EDF
4 MQG - Méthodes Quantitatives de Gestion

We analyze the robustness properties of the Snell envelope backward evolution equation for discrete time models. We provide a general robustness lemma, and we apply this result to a series of approximation methods, including cut-off type approximations, Euler discretization schemes, interpolation models, quantization tree models, and the Stochastic Mesh method of Broadie-Glasserman. In each situation, we provide non asymptotic convergence estimates, including Lp-mean error bounds and exponential concentration inequalities. In particular, this analysis allows us to recover existing convergence results for the quantization tree method and to improve significantly the rates of convergence obtained for the Stochastic Mesh estimator of Broadie-Glasserman. In the final part of the article, we propose a genealogical tree based algorithm based on a mean field approximation of the reference Markov process in terms of a neutral type genetic model. In contrast to Broadie-Glasserman Monte Carlo models, the computational cost of this new stochastic particle approximation is linear in the number of sampled points.

On analyse les propriétés de la robustesse de l'enveloppe de Snell pour les modèles de temps discret. On fournit un lemme de robustesse générale, et on applique ce résultat à une série de méthodes d'approximation, y compris les approximations de type Cut-off, Euler discrétisation schémas, modèles d'interpolation, modèles de quantification et la méthode stochastique de Broadie-Glasserman. Dans chaque situation, on fournit des estimations de convergence non asymptotique, y compris les limites d'erreur de norme Lp et les inégalités de concentration exponentielle. En particulier, cette analyse permet de récupérer les résultats de convergence existant pour la méthode de quantification et d'améliorer considérablement le taux de convergence obtenu pour l'estimateur de maillage stochastique du Broadie-Glasserman. Dans la dernière partie de l'article, on propose un algorithme d'arbre généalogique basé sur une approximation mean-field de la référence de processus de Markov en termes d'un modèle génétique de type neutre. Contrairement aux modèles Broadie-Glasserman Monte-Carlo, le coût de calcul de cette nouvelle approximation stochastique particulaire est linéaire par rapport le nombre de points échantillonnés.

Mots clés: Snell envelope; optimal stopping; American option pricing; genealogical trees; interacting particle model

Domaines: Pricing [q-fin.PR]; Optimisation et contrôle [math.OC]; Analyse numérique [math.NA]

Pierre del Moral, Peng Hu, Nadia Oudjane, Bruno Rémillard. On the Robustness of the Snell envelope. [Research Report] RR-7303, 2010, pp.35. ⟨inria-00487103v3⟩