A link condition for simplicial complexes, and CUB spaces
Résumé
We motivate the study of metric spaces with a unique convex geodesic bicombing, which we call CUB spaces. These encompass many classical notions of nonpositive curvature, such as CAT(0) spaces and Busemann-convex spaces. Groups having a geometric action on a CUB space enjoy numerous properties. We want to know when a simplicial complex, endowed with a natural polyhedral metric, is CUB. We establish a link condition, stating essentially that the complex is locally a lattice. This generalizes Gromov's link condition for cube complexes, for the $\ell^\infty$ metric. The link condition applies to numerous examples, including Euclidean buildings, simplices of groups, Artin complexes of Euclidean Artin groups, (weak) Garside groups, some arcs and curve complexes, and minimal spanning surfaces of knots.
Nous motivons l'étude des espaces métriques ayant un unique bipeignage convexe, que nous appelons espaces CUB. Ceux-ci incluent de nombreuses notions classiques de courbure négative, comme les espaces CAT(0) et les espaces Busemann-convexes. Les groupes ayant une action géométrique sur un espace CUB ont de nombreuses propriétés intéressantes.Nous souhaitons déterminer quand un complexe simplicial, muni d'une métrique polyéhdrale, est CUB. Pour cela, nous établissons un critère de link, disant essentiellement que le complexe est localement un treillis. Ceci généralise le critère de link de Gromov pour les complexes cubiques, pour la métrique ℓ∞.Ce critère de link s'applique à de nombreux exemples, notamment des immeubles euclidiens, des simplexes de groupes, des complexes d'Artin de groupes d'Artin euclidiens, des groupes de Garside (faibles), certains complexes d'arcs et de courbes, et des surfaces minimales de Seifert de noeuds.