De la stabilité locale à la stabilité globale : application à un modèle simple d'instrument à anche
Résumé
Le diagramme de bifurcation renseigne sur les régimes établis d’un système dynamique. La stabilité des différents régimes est une information binaire qui élude des caractéristiques importantes de la dynamique. En particulier, le degré de stabilité des solutions n’est pas connu précisément : à partir de quelle amplitude une perturbation peut-elle déstabiliser une solution stable ? Dans un instrument de musique cette information est importante, ce qui est souligné ici à l’aide d’un modèle simple d’instrument à anche à deux modes acoustiques de la colonne d’air et où la dynamique d’anche est négligée. L’espace des phases du modèle est alors de dimension 4. Le modèle est d’abord simplifié grâce à une représentation amplitude/phase de la solution et à une technique de moyennage à deux fréquences. Seules sont calculées les amplitudes de la solution et la différence de phase entre les deux degrés de liberté physiques. Le problème est ainsi ramené dans un espace de dimension 3, où les points fixes correspondent aux solutions périodiques du modèle original, et où les visualisations directes sont plus faciles à apprécier. Les comportements des modèles (original et simplifié) sont comparés et la capacité du modèle simplifié à rendre compte de la dynamique complexe du modèle original est évaluée. Les solutions stables du modèle simplifié sont ensuite soumises à des perturbations d’amplitude croissante suivant différents degrés de liberté. Lorsque plusieurs solutions stables coexistent pour des valeurs de paramètres identiques, on détermine les conditions pour lesquelles une solution stable peut finalement ne plus être le régime établi après une perturbation. D’un point de vue plus fondamental, les résultats obtenus renseignent sur la structure des bassins d’attraction. L’objectif est de développer les outils d’analyse pour mieux comprendre comment la variation dans le temps d’un paramètre du modèle peut modifier le régime établi (saut entre deux notes par exemple).