The T-coercivity approach for mixed problems

T-coercivité et problèmes mixtes

Mathieu Barré (1, 2) , Patrick Ciarlet (3)

1 LMS - Laboratoire de mécanique des solides
2 M3DISIM - Mathematical and Mechanical Modeling with Data Interaction in Simulations for Medicine
3 POEMS - Propagation des Ondes : Étude Mathématique et Simulation

Classically, the well-posedness of variational formulations of mixed linear problems is achieved through the inf-sup condition on the constraint. In this note, we propose an alternative framework to study such problems by using the T-coercivity approach to derive a global inf-sup condition. Generally speaking, this is a constructive approach that, in addition, drives the design of suitable approximations. As a matter of fact, the derivation of the uniform discrete inf-sup condition for the approximate problems follows easily from the study of the original problem. To support our view, we solve a series of classical mixed problems with the T-coercivity approach. Among others, the celebrated Fortin Lemma appears naturally in the numerical analysis of the approximate problems.

Classiquement, le caractère bien posé des formulations variationnelles de problèmes linéaires mixtes est obtenu à l'aide de la condition inf-sup. Dans cette note, nous proposons un cadre alternatif pour étudier de tels problèmes en utilisant la notion de T-coercivité. Il s'agit d'une approche constructive qui permet en outre de concevoir simplement des approximations numériques adaptées car la dérivation de la condition inf-sup discrète uniforme découle en général directement de l'étude du problème continu. Pour appuyer notre propos, nous résolvons une série de problèmes mixtes classiques grâce à la notion de T-coercivité. Entre autres, le lemme de Fortin apparaît naturellement dans l'analyse numérique des problèmes discrets.

Domaines: Analyse numérique [math.NA]

Mathieu Barré, Patrick Ciarlet. The T-coercivity approach for mixed problems. Comptes Rendus. Mathématique, inPress. ⟨hal-03820910v2⟩