The Canonical Complex of the Weak Order

Doriann Albertin (1) , Vincent Pilaud (2, 3)

1 LIGM - Laboratoire d'Informatique Gaspard-Monge
2 CNRS - Centre National de la Recherche Scientifique
3 LIX - Laboratoire d'informatique de l'École polytechnique [Palaiseau]

We study the canonical complex of a finite semidistributive lattice L, a simplicial complex which encodes each interval [x,y] of L by recording simultaneously the canonical join representation of x and the canonical meet representation of y, and behaves properly with respect to lattice quotients of L. We then describe combinatorially the canonical complex of the weak order on permutations in terms of semi-crossing arc bidiagrams, formed by the superimposition of two non-crossing arc diagrams of N. Reading. Finally, we provide an algorithm to describe the Kreweras maps in any lattice quotient of the weak order in terms of semi-crossing arc bidiagrams.

Nous étudions le complexe canonique d'un treillis semidistributif fini L, un complexe simplicial qui encode chaque intervalle [x,y] de L par la représentation canonique par supremums de x et la représentation canonique par infimums de y, et qui se comporte bien par rapport aux treillis quotients de L. Nous décrivons ensuite combinatoirement le complexe canonique de l'ordre faible sur les permutations en termes de bidiagrammes d'arcs avec des semi-croisements, formés par la superposition de deux diagrammes d'arcs sans croisement de N. Reading. Finalement, nous présentons un algorithme pour décrire les fonctions de Kreweras dans tout treillis quotient de l'ordre faible en termes de bidiagrammes d'arcs.

Mots clés: semidistributive lattices; canonical join representations; weak order; noncrossing arc diagrams; Kreweras complement

Domaines: Combinatoire [math.CO]

Doriann Albertin, Vincent Pilaud. The Canonical Complex of the Weak Order. FPSAC 2022 - 34th International Conference on Formal Power Series and Algebraic Combinatorics, Jul 2022, Bangalore, India. pp.#36. ⟨hal-03789185⟩