DISCRETE AND CONTINUOUS CURVED SURFACE ANTIPODAL PATHS. EXTENSIONS OF THE BORSUK-ULAM THEOREM AND APPLICATION OF THE FEYNMAN PATH INTEGRAL AND WODEHOUSE CONTOUR INTEGRAL

PARCOURS ANTIPODAUX DE SURFACE COURBE DISCRETS ET CONTINUS. EXTENSIONS DU THÉORÈME DE BORSUK-ULAM ET APPLICATION DE L'INTÉGRALE DE CHEMIN DE FEYNMAN ET DE L'INTÉGRALE DE CONTOUR DE WODEHOUSE

James F Peters , Roberto Alfano , Peter Smith , Arturo Tozzi

Purpose: This paper introduces discrete and continuous paths over simply-connected surfaces with non-zero curvature as means of comparing and measuring paths between anitpodes with either a Feynman path integral or Wodehouse contour integral, resulting in a number of extensions of the Borsuk Ulam Theorem. Methods: All paths originate on a Riemannian surface S, which is simplyconnected and has non-zero curvature at every point in S. A surface is a simply connected, provided every cross-cut divides the surface into disjoint regions. A cross cut is an arc that runs through the interior of the surface S without self-intersections and joins one boundary to another. Results: A fundamental result in this paper is that for any pair of antipodal surface points, a path that begins and ends at the antipodal points can be found. This result is extended to Feynman path integrals on trajectoryof-particle curves and to N.M.J. Wodehouse countour integrals for antipodal vectors on twistor curves. Another fundamental result in this paper is that the Feynman trajectory of a particle is realizable as a Lefschetz arc. 2010 Mathematics Subject Classification. 05C38 (paths and cycles), 14H55 (Riemann surfaces.

Objectif : Cet article présente des chemins discrets et continus sur des surfaces simplement connectées avec une courbure non nulle comme moyen de comparer et de mesurer les chemins entre les anitpodes avec soit une intégrale de chemin de Feynman, soit une intégrale de contour de Wodehouse, résultant en un certain nombre d'extensions du théorème de Borsuk Ulam . Méthodes : Tous les chemins proviennent d'une surface riemannienne S, qui est simplement connexe et a une courbure non nulle en tout point de S. Une surface est simplement connexe, à condition que chaque coupe transversale divise la surface en régions disjointes. Une coupe transversale est un arc qui traverse l'intérieur de la surface S sans auto-intersections et joint une limite à une autre. Résultats : Un résultat fondamental dans cet article est que pour toute paire de points de surface antipodaux, un chemin qui commence et se termine aux points antipodaux peut être trouvé. Ce résultat est étendu aux intégrales de chemin de Feynman sur les courbes de trajectoire des particules et à N.M.J. Intégrales de contour de Wodehouse pour les vecteurs antipodaux sur les courbes de torsion. Un autre résultat fondamental de cet article est que la trajectoire de Feynman d'une particule est réalisable sous la forme d'un arc de Lefschetz. Classification des sujets de mathématiques 2010. 05C38 (chemins et cycles), 14H55 (surfaces de Riemann.

Mots clés: arc; cell; curvature; path; surface; vector

Domaines: Topologie algébrique [math.AT]

James F Peters, Roberto Alfano, Peter Smith, Arturo Tozzi. DISCRETE AND CONTINUOUS CURVED SURFACE ANTIPODAL PATHS. EXTENSIONS OF THE BORSUK-ULAM THEOREM AND APPLICATION OF THE FEYNMAN PATH INTEGRAL AND WODEHOUSE CONTOUR INTEGRAL. 2022. ⟨hal-03698584⟩