Large N limit of the Yang-Mills measure on compact surfaces II: Makeenko-Migdal equations and planar master field

Limite "grand N" de la mesure de Yang-Mills sur des surfaces compactes II : équations de Makeenko-Migdal et champ maître planaire

Thibaut Lemoine (1) , Antoine Dahlqvist (2)

1 IRMA - Institut de Recherche Mathématique Avancée
2 University of Sussex

This paper considers the large N limit of Wilson loops for the two-dimensional Euclidean Yang-Mills measure on all orientable compact surfaces of genus larger or equal to 1, with a structure group given by a classical compact matrix Lie group. Our main theorem shows the convergence of all Wilson loops in probability, given that it holds true on a restricted class of loops, obtained as a modification of geodesic paths. Combined with the result of [16], a corollary is the convergence of all Wilson loops on the torus. Unlike the sphere case, we show that the limiting object is remarkably expressed thanks to the master field on the plane defined in [3, 32] and we conjecture that this phenomenon is also valid for all surfaces of higher genus. We prove that this conjecture holds true whenever it does for the restricted class of loops of the main theorem. Our result on the torus justifies the introduction of an interpolation between free and classical convolution of probability measures, defined with the free unitary Brownian motion but differing from t-freeness of [5] that was defined in terms the liberation process of Voiculescu [55]. In contrast to [16], our main tool is a fine use of Makeenko-Migdal equations, proving their uniqueness under suitable assumptions, generalising the arguments of [17, 29].

Cet article traite de la limite "grand N" de boucles de Wilson pour la mesure de Yang-Mills euclidienne sur toutes les surfaces compactes orientables de genre supérieur ou égal à 1, avec pour groupe de structure un groupe classique. Notre principal théorème montre la convergence des boucles de Wilson en probabilité, étant donné qu'elle est satisfaite sur une classe restreinte de lacets, obtenus comme modification de chemins géodésiques. Combiné avec le résultat de [16], un corollaire est la convergence de toutes les boucles de Wilson sur le tore. Contrairement au cas de la sphère, on montre que l'objet limite est exprimé à l'aide du champ maître sur le plan construit en [3,32] et on émet la conjecture que ce phénomène demeure vrai pour les surfaces de genre supérieur. On prouve que cette conjecture est vraie si elle l'est dans le cas restreint de la classe de lacets considérée par le théorème principal. Notre résultat sur le tore justifie l'introduction d'une interpolation entre convolution classique et libre de mesures de probabilités, définies à l'aide du mouvement brownien unitaire libre, mais qui diffère de la t-liberté de [5] qui a été décrite à l'aide du processus de libération de Voiculescu [55]. Contrairement à [16], notre principal outil est ici une utilisation fine des équations de Makeenko-Migdal, en prouvant leur unicité sous des hypothèses adéquates, généralisant les arguments de [17,29].

Domaines: Probabilités [math.PR]; Physique mathématique [math-ph]

Thibaut Lemoine, Antoine Dahlqvist. Large N limit of the Yang-Mills measure on compact surfaces II: Makeenko-Migdal equations and planar master field. 2022. ⟨hal-03536317⟩