Spectral gap for obstacle scattering in dimension 2

Trou spectral pour le scattering par des obstacles en dimension 2

Lucas Vacossin (1, 2)

1 DMA - Département de Mathématiques et Applications - ENS Paris
2 LMO - Laboratoire de Mathématiques d'Orsay

In this paper, we study the problem of scattering by several strictly convex obstacles, with smooth boundary and satisfying a non eclipse condition. We show, in dimension 2 only, the existence of a spectral gap for the meromorphic continuation of the Laplace operator outside the obstacles. The proof of this result relies on a reduction to an open hyperbolic quantum map, achieved in [NSZ14]. In fact, we obtain a spectral gap for this type of objects, which also has applications in potential scattering. The second main ingredient of this article is a fractal uncertainty principle. We adapt the techniques of [DJN21] to apply this fractal uncertainty principle in our context.

Dans cet article, nous étudions le problème de scattering par des obstacles strictement convexes, à bords lisses et satisfaisant une condition de non éclipse. Nous démontrons, en dimension 2, l'existence d'un trou spectral pour le prolongement méromorphe du Laplacien en dehors des obstacles. La démonstration repose sur une réduction à un application ouverte quantique hyperbolique, prouvée dans [NSZ14]. Plus précisément, nous obtenons un un trou spectral pour ces objets, qui ont par ailleurs des applications en scattering par un potentiel. Le second principal ingrédient de cet article est un principe d'incertitude fractal. Nous adaptons les techniques développées dans [DJN21] pour appliquer ce principe d'incertitude fractal dans ce contexte.

Domaines: Physique mathématique [math-ph]; Equations aux dérivées partielles [math.AP]; Théorie spectrale [math.SP]

Lucas Vacossin. Spectral gap for obstacle scattering in dimension 2. 2022. ⟨hal-03524969v2⟩