Sets of integers determined by operator-theoretical properties: Jamison and Kazhdan sets in the group Z

Catalin Badea (1, 2) , Sophie Grivaux (3, 1, 4)

1 Université de Lille
2 LPP - Laboratoire Paul Painlevé - UMR 8524
3 CNRS - Centre National de la Recherche Scientifique
4 LAMFA - Laboratoire Amiénois de Mathématique Fondamentale et Appliquée - UMR CNRS 7352

The aim of this partly expository paper is to present and discuss two classes of sets of integers (Jamison and Kazhdan sets) whose definition and/or properties are determined or inspired by operator-theoretical properties. Jamison sets first appeared in the study of the relationship between the growth of the sequence of norms of iterates of a bounded linear operator on a separable Banach space and the size of its unimodular point spectrum. Kazhdan subsets of Z are particular cases of Kazhdan sets in general topological groups, which are especially important as they appear in the definition of Property (T). This paper is also intended as a companion to the authors' paper [3], which undertakes a study of Kazhdan subsets of some classical groups without Property (T). We present here in detail the case of the group Z, which is one of the most natural examples of groups without Property (T), and which may be useful to build an intuition of some of the main results of [3]. Also, the proofs in the case of the group Z rely solely on tools from basic operator theory and harmonic analysis. Some crucial links between Jamison and Kazhdan sets in Z are exhibited, and many examples are given.

Ensembles d'entiers déterminés par des propriétés opératorielles : ensembles de Jamison et de Kazhdan dans le groupe Z. Nous présentons dans ce texte deux classes de sous-ensembles de Z (les ensembles de Jamison et les ensembles de Kazhdan) dont la définition et/ou les propriétés sont motivées et/ou inspirées par des propriétés de nature opératorielle. Les ensembles de Jamison sont apparus dans l'étude des relations entre, d'une part, la croissance des normes des itérés d'un opérateur borné sur un espace de Banach séparable et, d'autre part, la taille de son spectre ponctuel unimodulaire. Les ensembles de Kazhdan dans Z sont des cas particuliers d'ensembles de Kazhdan dans les groupes généraux; ces derniers sont particulièrement importants puisqu'ils apparaissent dans la définition de la Propriété (T). Ce texte complément également notre article [3], dans lequel nous étudions les sous-ensembles de Kazhdan de certains groupes classiques n'ayant pas la Propriété (T). Nous présentons ici en détail le cas du groupe Z, qui est l'un des exemples les plus élémentaires de groupes ne possédant pas la Propriété (T), et qui peut être utile pour appréhender certains des résultats principaux de [3]. De plus, les preuves dans ce cas particulier reposent exclusivement sur des outils de théorie des opérateurs élémentaire et d'analyse harmonique. Nous présentons également certains liens importants entre les ensembles de Jamison et les ensembles de Kazhdan, et donnons de nombreux exemples.

Mots clés: Jamison sequences; equidistributed sequences

Domaines: Analyse fonctionnelle [math.FA]

Catalin Badea, Sophie Grivaux. Sets of integers determined by operator-theoretical properties: Jamison and Kazhdan sets in the group Z. Sémin. Congr. Actes du 1er Congrès National de la SMF - Tours, 2016, 31, Soc. Math. France, pp.37-75, 2017. ⟨hal-03494660⟩