Analyse de bifurcation des modes non-linéaires par équilibrage harmonique
Résumé
Ce travail présente une méthode d'analyse de stabilité et de bifurcation des Modes normaux non-linéaires (MNN) utilisant la méthode d'équilibrage harmonique (HBM) et la bascule temps-fréquence (AFT) pour le calcul des efforts non-linéaires. Un système dynamique autonome et non-amorti à 2 degrés de liberté est considéré. La méthode HBM consiste à rechercher la solution sous la forme d'une série de Fourier tronquée. L'équation différentielle du mouvement dans le domaine temporel est ainsi transformée en un système algébrique non-linéaire dans le domaine fréquentiel. Toutefois, ce système est mal posé à cause de l'indétermination sur la phase due à l'absence de forçage. Une condition de phase doit être ajoutée à l'équation du mouvement fréquentielle afin d'imposer la phase et l'unicité des solutions périodiques recherchées. Une condition de phase originale, bien adaptée au domaine fréquentiel, est proposée dans ce travail. Le MNN est ensuite calculé en utilisant les techniques de continuation de pseudo longueur d'arc à partir du système augmenté composé de l'équation de mouvement modifiée et de la condition de phase. Contrairement aux Modes Normaux Linéaires, les MNNs présentent des comportements dynamiques complexes. Leurs branches peuvent changer de stabilité et présenter des points de bifurcations comme les points de branchement (BP) ou les points limites (LP). Afin de les détecter et de les calculer, les exposants de Floquet issus du problème aux valeurs propres quadratique de la méthode de Hill sont utilisés. Comme le problème aux valeurs propres quadratique provient de l'équation de mouvement autonome perturbée, la non-unicité des solutions de celle-ci rend la Jacobienne singulière. Par conséquent une valeur propre nulle de multiplicité 2$ est solution du problème aux valeurs propres quadratique. Afin d'éliminer cette singularité, le problème aux valeurs propres quadratique est modifié en décalant cette valeur propre nulle. Une fois la modification effectuée, le nouveau problème quadratique est utilisé pour construire des systèmes augmentés qui permettent de calculer précisément les LP, les BP, ainsi que les branches bifurquées. La méthode d'analyse de stabilité et de bifurcation des MNNs ainsi obtenue permet de calculer toutes leurs branches, leurs interactions modales ainsi que leur stabilité et leurs points de bifurcations.
Domaines
Mécanique [physics]
Origine : Fichiers éditeurs autorisés sur une archive ouverte