Local and Global Aspects of Quasilinear Degenerate Elliptic Equations
Résumé
This book is devoted to the study of elliptic second-order degenerate quasilinear equations, the model of which is the p-Laplacian, with or without dominent lower order reaction term. Emphasis is put on three aspects:
- The existence of separable singular solutions enlights the description of isolated singularities of general solutions. The construction of singular solutions is delicate and cannot be done without the understanding of the spherical p-harmonic eigenvalue problem.
- When the equations are considered on a Riemannian manifold, existence or non-existence of solutions depends on geometric assumptions such as the curvature. A priori estimates and Liouville type problems are analyzed.
- When the equations are considered with a forcing term in the class of measures, their study is strongly linked to the properties of a class of potentials appearing in harmonic analysis such as the Riesz, the Bessel or the Wolf potentials and to their associated capacities. Necessary and sufficient conditions for existence of solutions link the continuity of the measure with respect to some appropriate capacity.
Ce livre est consacré à l'étude des équations quasi-linéaires dégénérées elliptiques du second ordre, dont le modèle est le p-Laplacien, avec ou sans terme de réaction d'ordre inférieur dominant. L'accent est mis sur trois aspects :
- L'existence de solutions singulières séparables permet de décrire des singularités isolées de solutions générales. La construction de solutions singulières est délicate et ne peut se faire sans la compréhension du problème des valeurs propres p-harmoniques sphériques
- Lorsque les équations sont considérées sur une variété riemannienne, l'existence ou la non-existence de solutions dépend de hypothèses géométriques telles que la courbure. Des estimations a priori et des problèmes de type Liouville sont analysés.
- Lorsque les équations sont considérées avec un terme de forcing dans la classe des mesures, leur étude est fortement liée des propriétés de classe de potentiels apparaissant en analyse harmonique comme les potentiels de Riesz, de Bessel ou de Wolf et à leurs capacités associées. Des conditions nécessaires et suffisantes pour l'existence de solutions lient la continuité de la mesure par rapport à une capacité appropriée.