Large N behaviour of the two-dimensional Yang–Mills partition function

Comportement en grand N de la fonction de partition de Yang–Mills en deux dimensions

Thibaut Lemoine (1)

1 IRMA - Institut de Recherche Mathématique Avancée

We compute the large N limit of the partition function of the Euclidean Yang–Mills measure on orientable compact surfaces with genus $g\geqslant 1$ and non-orientable compact surfaces with genus $g\geqslant 2$ , with structure group the unitary group ${\mathrm U}(N)$ or special unitary group ${\mathrm{SU}}(N)$ . Our proofs are based on asymptotic representation theory: more specifically, we control the dimension and Casimir number of irreducible representations of ${\mathrm U}(N)$ and ${\mathrm{SU}}(N)$ when N tends to infinity. Our main technical tool, involving ‘almost flat’ Young diagram, makes rigorous the arguments used by Gross and Taylor (1993, Nuclear Phys. B 400 (1–3) 181–208) in the setting of QCD, and in some cases, we recover formulae given by Douglas (1995, Quantum Field Theory and String Theory (Cargèse, 1993) , Vol. 328 of NATO Advanced Science Institutes Series B: Physics , Plenum, New York, pp. 119–135) and Rusakov (1993, Phys. Lett. B 303 (1) 95–98).

On calcule la limite en grand N de la fonction de partition de la mesure de Yang–Mills euclidienne sur des surfaces compacte orientables de genre$g\geqslant 1$ et des surfaces compactes non-orientables de genre $g\geqslant 2$, avec pour groupe de structure le groupe unitaire ${\mathrm U}(N)$ ou spécial unitaire ${\mathrm{SU}}(N)$ . Nos preuves reposent sur la théorie asymptotique des représentations : plus spécifiquement, on contrôle la dimension et le nombre de Casimir de représentations irréductibles de ${\mathrm U}(N)$ and ${\mathrm{SU}}(N)$ quand N tend vers l'infini. Notre principal outil, mettant en jeu des diagrammes de Young "presque plats", rend rigoureux des arguments utilisés par Gross et Taylor (1993, Nuclear Phys. B 400 (1–3) 181–208) dans le cadre de la chromodynamique quantique, et dans certains cas on retrouve également des formules établies par Douglas (1995, Quantum Field Theory and String Theory (Cargèse, 1993) , Vol. 328 of NATO Advanced Science Institutes Series B: Physics , Plenum, New York, pp. 119–135) et Rusakov (1993, Phys. Lett. B 303 (1) 95–98).

Mots clés: Two-dimensional Yang-Mills theory; large N limit; asymptotic representation theory; Witten zeta function; almost flat highest weights

Domaines: Physique mathématique [math-ph]; Probabilités [math.PR]; Théorie des représentations [math.RT]

Thibaut Lemoine. Large N behaviour of the two-dimensional Yang–Mills partition function. Combinatorics, Probability and Computing, 2021, pp.1-22. ⟨10.1017/S0963548321000262⟩. ⟨hal-03289619⟩