Mixed Hodge structures on cohomology jump ideals

Structures de Hodge mixtes sur les idéaux de saut de cohomologie

Louis-Clément Lefèvre (1)

1 Universität Duisburg-Essen = University of Duisburg-Essen [Essen]

In previous work, we constructed for a smooth complex variety $X$ and for a linear algebraic group $G$ a mixed Hodge structure on the complete local ring $\widehat{\mathcal{O}}_\rho$ to the moduli space of representations of the fundamental group $\pi_1(X,x)$ into $G$ at a representation $\rho$ underlying a variation of mixed Hodge structure. We now show that the jump ideals $J_k^i \subset \widehat{\mathcal{O}}_\rho$, defining the locus of representations such the the dimension of the cohomology of $X$ in degree $i$ of the associated local system is greater than $k$, are sub-mixed Hodge structures; this is in accordance with various known motivicity results for these loci. In rank one we also recover, and find new cases, where these loci are translated sub-tori of the moduli of representations. Our methods are first transcendental, relying on Hodge theory, and then combined with tools of homotopy and algebra.

Dans notre travail précédent, nous avons construit pour une variété lisse complexe $X$ et pour un groupe algébrique linéaire $G$ une structure de Hodge mixte sur l'anneau local complet $\widehat{\mathcal{O}}_\rho$ de l'espace de modules des représentations du groupe fondamental $\pi_1(X,x)$ dans $G$ en une représentation $\rho$ sous-jacente à une variation de structure de Hodge mixte. Nous montrons maintenant que les idéaux de saut $J_k^i \subset \widehat{\mathcal{O}}_\rho$, définissant le lieux des représentations telles que la dimension de la cohomologie de $X$ en degré $i$ du système local associé est plus grande que $k$, sous des sous-structures de Hodge mixtes ; ceci est en accord avec divers résultats de motivicité connus pour ces lieux. En rang un, nous retrouvons ainsi et trouvons de nouveaux cas où ces lieux sont des sous-tores translatés de l'espace de modules des représentations. Nos méthodes sont d'abord transcendantes, reposant sur la théorie de Hodge, puis combinées avec des outils d'homotopie et d'algèbre.

Mots clés: Mixed Hodge Structures; L-infinity Algebras; Jump Ideals; Homotopy Transfer of Structure

Mots clés: structures de Hodge mixte; algèbres L-infini; idéaux de saut; transfert de structure homotopique

Domaines: Géométrie algébrique [math.AG]; Topologie algébrique [math.AT]

Louis-Clément Lefèvre. Mixed Hodge structures on cohomology jump ideals. 2021. ⟨hal-03268018⟩