Fermeture déductive d'une base partiellement ordonnée
Résumé
Dans ce rapport, nous présentons des résultats pour l’extension de la logique possibiliste dans un cadre partiellement ordonné. Le point difficile réside dans le fait que les définitions de l’inférence équivalentes dans le cas totalement ordonné, à savoir:•L’inférence sémantique à partir d’une relation d’ordre sur les modèles construite à partir de la base totalement ordonnée•L’inférence classique à partir des coupes de niveaux de la base totalement ordonnée ne sont plus équivalentes dans le cas partiellement ordonné.Nous considérons des bases propositionnelles munies d’une relation d’ordre partiel, exprimant la certitude relative. Une sémantique possible consiste à supposer que cet ordre provient d’un ordre partiel sur les modèles. Elle exige la capacité d’induire un ordre partiel sur les sous-ensembles d’un ensemble, à partir d’un ordre partiel sur ses éléments. Parmi plusieurs définitions de relations d’ordre partiel ainsi définies, nous sélectionnons la plus pertinente pour représenter la notion de certitude relative, en accord avec la théorie des possibilités. Nous montrons les limites d’une sémantique basée sur un ordre partiel unique sur les modèles et proposons une sémantique plus générale qui utilise une relation d’ordre partiel entre les ensembles de modèles. Nous utilisons un langage de plus haut niveau qui exprime des conjonctions de paires de formules en relation, avec des axiomes qui décrivent les propriétés de la relation. Ces propriétés étendent celles des relations de nécessité de la théorie des possibilités. Nous proposons deux approches syntaxiques pour inférer de nouvelles paires de formules à partir d’une base partiellement ordonnée, et compléter ainsi l’ordre sur le langage propositionnel. L’une des inférences est proche des logiques conditionnelles de Lewis (qui traite le cas totalement ordonné) et d’un travail de Halpern en 1997. Elle est également proche du Système P de Lehmann et collègues.Nous comparons cette approche avec la logique possibiliste à poids symboliques partiellement ordonnés proposée par Benferhat et Prade en 2005. Pour cela nous poursuivons l’étude de cette dernière en démontrant un résultat de complétude. On étudie la question de la traduction d’une base partiellement ordonnée en base possibiliste à poids symboliques et inversement. Les résultats relatifs à cette traduction mettent en évidence les hypothèses différentes sous-tendant les deux logiques. L’approche par formules partiellement ordonnées préserve l’ordre partiel de la base dans l’ordre partiel sur le langage obtenu par inférence, tandis que les poids attachés aux formules en logique possibiliste ne sont que des bornes inférieures des niveaux de certitude obtenus dans la fermeture déductive de la base. Par ailleurs, la logique possibiliste à poids symboliques s’appuie sur un principe de moindre engagement qui permet de traiter des incohérence partielles, principe qui n’est pas pris en compte dans l’approche de type logique conditionnelle, laquelle est plus
prudente, et sensible aux incohérences dues à l’ordre initial sur les formules.