Probabilistic local well-posedness for the Schr{\"o}dinger equation posed for the Grushin Laplacian

Caractère localement bien posé de l'équation de Schr{\"o}dinger associée à l'opérateur de Grushin avec donnée initiale aléatoire

Louise Gassot (1, 2) , Mickaël Latocca (2)

1 LMO - Laboratoire de Mathématiques d'Orsay
2 DMA - Département de Mathématiques et Applications - ENS Paris

We study the local well-posedness of the nonlinear Schr{\"o}dinger equation associated to the Grushin operator with random initial data. To the best of our knowledge, no well-posedness result is known in the Sobolev spaces $H^k$ when $k \leq \frac{3}{2}$. In this article, we prove that there exists a large family of initial data such that, with respect to a suitable randomization in $H^k$, $k \in (1,\frac{3}{2}]$, almost-sure local well-posedness holds. The proof relies on bilinear and trilinear estimates.

On étudie le caractère localement bien posé de l'équation de Schr{\"o}dinger associée à l'opérateur de Grushin avec donnée initiale aléatoire. À notre connaissance, on ne dispose d'aucun résultat sur le caractère bien posé pour cette équation dans les espaces de Sobolev $H^k$ lorsque $k \leq \frac{3}{2}$. Dans cet article, on montre qu'il existe une grande famille de données initiales dans $H^k$, $k \in ]1,\frac{3}{2}]$, pour lesquelles une randomisation appropriée conduit au caractère presque-sûrement localement bien posé du problème de Cauchy. La preuve repose sur des estimées bilinéaires et trilinéaires.

Domaines: Equations aux dérivées partielles [math.AP]

Louise Gassot, Mickaël Latocca. Probabilistic local well-posedness for the Schr{\"o}dinger equation posed for the Grushin Laplacian. 2021. ⟨hal-03159752⟩