Supra-Maximal Representations From Fundamental Groups Of Punctured Spheres To Psl(2, R)

Bertrand Deroin (1) , Nicolas Tholozan (2)

1 AGM - UMR 8088 - Analyse, Géométrie et Modélisation
2 DMA - Département de Mathématiques et Applications - ENS Paris

We study a particular class of representations from the fun-damental groups of punctured spheresΣ0,nto the group PSL(2,R),which we callsupra-maximal. Though most of them are Zariski dense,we show that supra-maximal representations aretotally non hyperbolic,in the sense that everysimpleclosed curve is mapped to an elliptic orparabolic element. They are also shown to begeometrizable(appartfrom the reducible ones) in the following very strong sense : for anyelement of the Teichmüller spaceT0,n, there is a unique holomorphicequivariant map with values in the lower half-planeH−. In the relativecharacter varieties, the components of supra-maximal representationsare shown to be compact and symplectomorphic (with respect to theAtiyah–Bott–Goldman symplectic structure) to the complex projectivespace of dimensionn−3equipped with a certain multiple of the Fubini-Study form that we compute explicitly. This generalizes a result ofBenedetto–Goldman [BG99] for the sphere minus four points.

Représentations supra-maximales des groupes fondamentaux de sphères épointées dans PSL(2, R). Nous étudions une classe particulière de représentations du groupe fondamental des sphères épointées Σ0,n dans le groupe PSL(2, R), que nous appelons supra-maximales. Bien qu'elles soient pour la plupart Zariski denses, nous montrons qu'elles sont totalement non hyperboliques, au sens où l'image de toute courbe fermée simple est elliptique ou parabolique. Nous montrons aussi qu'elles sont géométrisables (hormis celles qui sont réductibles) en un sens très fort : pour tout élément de l'espace de Teichmüller T0,n, il existe une unique application équivariante holomorphe à valeurs dans le demi-plan inférieur H −. Nous montrons également que les représentations supra-maximales forment des composantes compactes des variétés de caractère relatives. Munies de la structure symplectique de Atiyah-Bott-Goldman, ces composantes sont symplectomorphes à l'espace projectif complexe de dimension n−3 muni d'un multiple de la forme de Fubini-Study que nous calculons explicitement. Cela généralise un résultat de Benedetto-Goldman pour la sphère à quatre trous.

Domaines: Mathématiques [math]

Bertrand Deroin, Nicolas Tholozan. Supra-Maximal Representations From Fundamental Groups Of Punctured Spheres To Psl(2, R). Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure, 2019. ⟨hal-03060436⟩