$p$-adic étale cohomology of period domains
Cohomologie étale $p$-adique des domaines de périodes
Résumé
We compute the $p$-torsion and $p$-adic étale cohomologies with compact support of period domains over local fields in the case of basic isocrystals for quasi-split reductive groups. As in the cases of $\ell$-torsion or $\ell$-adic coefficients, $\ell\neq p$, considered by Orlik, the results involve generalized Steinberg representations.
For the $p$-torsion case, we follow the method used by Orlik in his computations of the $\ell$-torsion étale cohomology using as a key
new ingredient the computation of $\mathrm{Ext}$ groups between mod $p$ generalized Steinberg representations of $p$-adic groups.
For the $p$-adic case, we don't use Huber's definition of étale cohomology with compact support as Orlik did since it seems to give spaces that are much too big; instead we use continuous étale cohomology with compact support.
On calcule la cohomologie étale $p$-adique (et de $p$-torsion) à support compact des espaces de périodes sur les corps locaux, attachés à un isocristal basique et à un groupe réductif quasi-déployé. Comme pour les coefficients $\ell$-adiques (et de $\ell$-torsion), avec $\ell \neq p$, considérés par Orlik, les résultats font apparaître des représentations de Steinberg généralisées.
Dans le cas de $p$-torsion, on suit la méthode d'Orlik, le nouvel ingrédient clé étant le calcul des groupes d'extensions entre deux représentations de Steinberg généralisées modulo $p$.
Dans le cas $p$-adique, contrairement à Orlik, nous n'utilisons pas la cohomologie étale à support compact à la Huber, car elle fournit des espaces beaucoup trop gros. À la place, nous utilisons la cohomologie continue à support compact.
Origine : Fichiers produits par l'(les) auteur(s)