Sobolev's inequality under a curvature-dimension condition

Louis Dupaigne (1, 2, 3) , Ivan Gentil (1) , Simon Zugmeyer (4, 5)

1 ICJ - Institut Camille Jordan
2 UCBL - Université Claude Bernard Lyon 1
3 EDPA - Équations aux dérivées partielles, analyse
4 MAP5 - UMR 8145 - Mathématiques Appliquées Paris 5
5 UMPA-ENSL - Unité de Mathématiques Pures et Appliquées

In this note we present a new proof of Sobolev's inequality under a uniform lower bound of the Ricci curvature. This result was initially obtained in 1983 by Ilias. Our goal is to present a very short proof, to give a review of the famous inequality and to explain how our method, relying on a gradient-flow interpretation, is simple and robust. In particular, we elucidate computations used in numerous previous works, starting with Bidaut-Véron and Véron's 1991 classical work.

Dans cette note, nous proposons une nouvelle preuve de l'inégalité de Sobolev sur les variétés à courbure de Ricci minorée par une constante positive. Le résultat avait été obtenu en 1983 par Ilias. Nous présentons une preuve très courte de ce théorème, dressons l'état de l'art pour cette fameuse inégalité et expliquons en quoi notre méthode, qui repose sur un flot de gradient, est simple et robuste. En particulier, nous élucidons les calculs utilisés dans des travaux précédents, à commencer par un célèbre article de Bidaut-Véron et Véron publié en 1991.

Domaines: Probabilités [math.PR]; Equations aux dérivées partielles [math.AP]

Louis Dupaigne, Ivan Gentil, Simon Zugmeyer. Sobolev's inequality under a curvature-dimension condition. Annales de la Faculté des Sciences de Toulouse. Mathématiques., 2023, pp.125-144. ⟨10.5802/afst.1731⟩. ⟨hal-03006155v5⟩