Entanglement in the family of division fields of elliptic curves with complex multiplication
Résumé
For every CM elliptic curve $E$ defined over a number field $F$ containing the CM field $K$, we prove that the family of $p$-adic division fields of $E$, where $p$ is a rational prime, becomes linearly disjoint over $F$ after removing an explicit finite subfamily of fields. If $F = K$ and $E$ is obtained as the base-change of an elliptic curve defined over $\mathbb{Q}$, we prove that this finite subfamily is never linearly disjoint over $K$ as soon as it contains more than one element.
Pour chaque courbe elliptique $E$ définie sur un corps de nombres $F$ et ayant multiplication complexe par un ordre d'un corps quadratique imaginaire $K \subseteq F$, on montre que la famille des corps de divisions $E[p^\infty]$, où $p$ est un nombre premier, est lineairement disjointe au dessus de $F$, après avoir enlevé une sous-famille finie explicite. Si $F=K$ et $E$ est obtenue comme changement de base d'une courbe elliptique définie sur $\mathbb{Q}$, on montre que cette sous-famille finie est jamais lineairement disjointe au dessus de $K$, dès qu'il contient au moins deux éléments.
Origine : Fichiers produits par l'(les) auteur(s)