Mahler's measure and elliptic curves with potential complex multiplication

Mesure de Mahler et courbes elliptiques avec multiplication complexe

Riccardo Pengo (1)

1 UMPA-ENSL - Unité de Mathématiques Pures et Appliquées

Given an elliptic curve $E$ defined over $\mathbb{Q}$ which has potential complex multiplication by the ring of integers $\mathcal{O}_K$ of an imaginary quadratic field $K$ we construct a polynomial $P_E \in \mathbb{Z}[x,y]$ which is a planar model of $E$ and such that the Mahler measure $m(P_E) \in \mathbb{R}$ is related to the special value of the $L$-function $L(E,s)$ at $s = 2$.

Soit $E$ une courbe elliptique définie sûr $\mathbb{Q}$, avec multiplication complexe par l'ordre maximal $ \mathcal{O}_K $ d'un corps quadratique imaginaire $K$. Le résultat principal de l'article monstre l'existence d'un polynôme $ P \in \mathbb{Z}[x,y] $ et de deux nombres explicites $ r \in \mathbb{Q}^\times $ et $ s \in \overline{\mathbb{Q}}^\times $ tels que $m(P) = r \cdot L'(E,0) + \log\lvert s \rvert$, où $ m(P) := \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} \log\lvert P(e^{2 \pi i \theta_1},e^{2 \pi i \theta_2}) \rvert d\theta_1 d\theta_2 $ est la mesure de Mahler de $P$. Le polynôme $ P $ et les nombres $ r $ et $ s $ dépendent de la géométrie de la courbe $ E $.

Domaines: Théorie des nombres [math.NT]; Géométrie algébrique [math.AG]

Riccardo Pengo. Mahler's measure and elliptic curves with potential complex multiplication. 2020. ⟨hal-02991139⟩