Sign choices in the AGM for genus two theta constants

Jean Kieffer (1, 2)

1 LFANT - Lithe and fast algorithmic number theory
2 IMB - Institut de Mathématiques de Bordeaux

Existing algorithms to compute genus 2 theta constants in quasi-linear time use Borchardt sequences, an analogue of the arithmetic-geometric mean for four complex numbers. In this paper, we show that these Borchardt sequences are given by good choices of square roots only, as in the genus 1 case. This removes the sign indeterminacies in the algorithm without relying on numerical integration.

Les algorithmes existants pour le calcul de thêta-constantes en genre 2 en temps quasilinéaire utilisent des suites de Borchardt, un analogue de la moyenne arithmético-géométrique pour quatre nombres complexes. Dans cet article, nous montrons que ces suites de Borchardt sont constituées uniquement de bons choix de signes, comme c’est le cas en genre 1. Ce résultat permet de lever les indéterminations de signes lors du calcul de thêta-constantes en genre 2 sans recours à l’intégration numérique.

Mots clés: Theta functions; Algorithms; Borchardt sequences

Domaines: Théorie des nombres [math.NT]

Jean Kieffer. Sign choices in the AGM for genus two theta constants. Publications Mathématiques de Besançon : Algèbre et Théorie des Nombres, 2022, pp.37-58. ⟨10.5802/pmb.45⟩. ⟨hal-02967220v2⟩