On the modular Jones polynomial

Sur le polynôme de Jones modulaire

Guillaume Pagel (1)

1 LMPA - Laboratoire de Mathématiques Pures et Appliquées Joseph Liouville

A major problem in knot theory is to decide whether the Jones polynomial detects the unknot. In this paper we study a weaker related problem, namely whether the Jones polynomial reduced modulo an integer $n$ detects the unknot. The answer is known to be negative for $n=2^k$ with $k\geq 1$ and $n=3$. Here we show that if the answer is negative for some $n$, then it is negative for $n^k$ with any $k\geq 1$. In particular, for any $k\geq 1$, we construct nontrivial knots whose Jones polynomial is trivial modulo~$3^k$.

Un problème majeur en théorie des noeuds est de décider si le polynôme de Jones détecte le noeud trivial. Dans cet article nous étudions une question similaire plus faible, c'est-à-dire si le polynôme de Jones réduit modulo un entier $n$ détecte le noeud trivial. On sait que la réponse est négative pour $n=2^k$ et $n=3$. On montre ici que si cette affirmation est fausse pour un entier $n$, alors elle l'est aussi pour $n^k$ avec $k\geq 1$. En particulier, on construit des noeuds non-triviaux avec un polynôme de Jones trivial modulo $3^k$.

Mots clés: Knot; Jones polynomial; Kauffman bracket; $m$-trivial knot; connected sum; Legendre formula; modular arithmetic

Mots clés: Noeud; Polynôme de Jones; crochet de Kauffman; noeud $m$-trivial; somme connexe; formule de Legendre; Arithmétique modulaire

Domaines: Combinatoire [math.CO]

Guillaume Pagel. On the modular Jones polynomial. Comptes Rendus. Mathématique, 2020, 358 (8), pp.901-908. ⟨10.5802/crmath.106⟩. ⟨hal-02909973v2⟩