, parte-se de uma categoria C e mantém-se seus objetos

, 2. substitui-se cada conjunto

Y. )-por-um-objeto-enr-c-(x;-y-)-de and C. ,

, 3. para cada terna de objetos de C associa-se um morfismo ? de Cat

H. Como-?-É-fibração, Daí, por universalidade obtém-se u, que é um isomorfismo. Fazendo o mesmo para g e utilizando de transitividade, chega-se em f * X × de homotopia que o quociente de X ? I por X ? S 0 . Por fim, sendo C cartesianamente fechada e simétrica, X ? ? possui adjunto à direita e, portanto, preserva pushouts

, De maneira dual, verifica-se que o loop ?X é equivalente a Map *

X. ,

, Particularmente, estes fatos nos mostram que, além de adjuntos, os functores ? ? S 1 e Map * são homotópicos, tendo passagens ao quociente coincidentes com ? e ?. Em virtude destas coincidências

D. Tem-se-homeomorfismos-s-n-?-s-m-?-s-n+m and . ?s-n-?-s-n+1, Uma forma de visualizar o resultado é a seguinte: por meio das projeções estereográficas, a esfera admite a decomposição S n ? e 0 ? e n , em que e i ? intD i é chamado de célula de dimensão i. Da mesma forma, S n × S m ? e 0 ? e n ? e m ? e n+m e S n ? S m ? e 0 ? e n ? e m

, Uma construção explícita do homeomorfismo ?S n ? S n+1 pode ser encontrada na sexta secção do primeiro capítulo de, vol.70

. H-espaços-;-lembre-se-de-que and . Da-categoria-homotópica-h-c-*-não-ser-completa-continuem-exata, Num âmbito geral não se tem muita informação quando i = 1. Ocorre que, sob condições bastante razoáveis, se um espaço Y admite um recobrimento X, então também admite um recobrimento simplesmente conexo X ? . Daí, a exatidão da sequência anterior para fornece uma ? 1 (Y ) ? ? 0 (X ? o ). Em suma, para boa parte dos espaços que admitem um recobrimentos, calcular grupo fundamental é contar o número de elementos de alguma fibra. Por exemplo, a aplicação exp : R ? S 1 , definida por exp(t) = (cos t, sin t) é recobrimento para o círculo. Como a reta é simplesmente conexa, Além da estrutura proveniente do produto smash, H C * também admite estruturas monoidais definidas por seus produtos e coprodutos binários

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