Tight estimates of exit and containment probabilities for nonlinear stochastic systems
Estimées précises de la probabilité pour un système stochastique non-linéaire de rester confiné
Résumé
Tight estimates of exit/containment probabilities are of particular importance in many control problems. Yet, estimating the exit/containment probabilities is non-trivial: even for linear systems (Ornstein-Uhlenbeck processes), the containment probability can be computed exactly for only some particular values of the system parameters. In this paper, we derive tight bounds on the containment probability for a class of nonlinear stochastic systems. The core idea is to compare the "pull strength" (how hard the deterministic part of the system dynamics pulls towards the origin) experienced by the nonlinear system at hand with that of a well-chosen process for which tight estimates of the containment probability are known or can be numerically obtained (e.g. an Ornstein-Uhlenbeck process). Specifically, the main technical contribution of this paper is to define a suitable dominance relationship between the pull strengths of two systems and to prove that this dominance relationship implies an order relationship between their containment probabilities. We also discuss the link with contraction theory and highlight some examples of applications.
Des estimées précises des probabilité de sortie ou de confinement de systèmes stochastiques sont des questions d'importance dans de nombreux problèmes de théorie du contrôle. Toutefois, estimer ces probabilités est non-trivial, même pour des systèmes linéaires (comme le processus d'Ornstein-Uhlenbeck), la probabilité de rester confiné ne peut être exactement calculée que pour quelques valeurs particulières de l'espace des paramètres. Dans ce papier, nous démontrons une borne précise sur la probabilité de confinement d'une classe de systèmes stochastiques non-linéaires. L'idée derrière ces méthodes est de comparer la "force de rappel" (la force avec laquelle le système est rappelé de façon déterministe vers son origine), subie par le système non-linéaire considéré, avec un processus stochastique bien choisi pour lequel est estimées des probabilités de confinement sont connues ou peuvent être calculées facilement (par exemple le processus d'Ornstein-Uhlenbeck). Plus précisément, la contribution technique principale de cet article est la définition d'une relation de domination entre deux systèmes en fonction de leurs forces de rappel respectives. On prouve que cette relation de domination implique une domination de la probabilité de confinement d'un système par rapport à l'autre. On discute également les liens avec la théorie de la construction et explicite quelques exemples d'application.