Algorithms for linear systems over semi-rings and dioids

Résolution de systèmes linéaires dans les semi-anneaux et les dioïdes

Michel Minoux (1)

1 ANP - Algorithmique numérique et parallélisme

Many classical algorithms for solving linear systems in usual algebra may be extended to much more general algebraic structures such as semi-rings and dioids. We present here a synthetic overview of these extensions : iterative methods such as generalized JACOBI and GAUSS-SEIDEL algorithms ; elimination methods such as generalized GAUSS-JORDAN and "Escalator" algorithms ; generalized "greedy" algorithm. As interesting special cases, we find again various well-known algorithms for solving the shortest path problem on directed graphs : the FORD-BELLMANN algorithm, FLOYD'S and DANTZIG's algorithm, and DIJKSTRA's algorithm.

La plupart des algorithmes classiques de résolution de systèmes linéaires dans l'algèbre usuelle peut se transposer à des structures algébriques beaucoup plus générales telles que les semi-anneaux et les dioïdes. Nous présentons ici une synthèse de ces extensions : méthode itératives de JACOBI, et de GAUSS-SEIDEL généralisées ; méthodes d'élimination de GAUSS-JORDAN et "Escalier" généralisées, algorithme "glouton" généralisé. Pour le cas particulier du problème de plus court chemin dans un graphe, on retrouve ainsi de nombreux algorithmes connus : algorithmes de FORD-BELLMANN, algorithme de FLOYD, algorithme de DANTZIG et algorithme de DIJKSTRA.

Mots clés: semi-rings; dioids; linear systems

Mots clés: semi-anneaux; dioïdes; systèmes linéaires

Domaines: Informatique [cs]

Michel Minoux. Résolution de systèmes linéaires dans les semi-anneaux et les dioïdes. [Rapport de recherche] lip6.1998.051, LIP6. 1998. ⟨hal-02548198⟩