Arbitrary precision real arithmetic: design and algorithms

Arithmétique réelle en précision arbitraire: conception et algorithmes

Valérie Ménissier-Morain (1)

1 CALFOR - Calcul formel

We describe here a representation of computable real numbers and a set of algorithms for the elementary functions associated to this representation. A real number is represented as a sequence of finite $B$-adic numbers and for each classical function (rational, algebraic or transcendental), we describe how to produce a sequence representing the result of the application of this function to its arguments, according to the sequences representing these arguments. For each algorithm we prove that the resulting sequence is a valid representation of the exact real result. This arithmetic is the first abritrary precision real arithmetic with mathematically proved algorithms.

Nous proposons une représentation des nombres réels calculables ainsi que des algorithmes pour les fonctions élémentaires usuelles pour cette représentation. Un nombre réel est représenté par une suite de nombres $B$-adiques finis et pour chaque fonction classique (rationnelle, algébrique ou transcendante), nous montrons comment produire une suite représentant le résultat à partir de suites représentant les paramètres. Pour chacun de ces algorithmes nous démontrons que la suite qui en résulte représente bien le résultat réel exact. Cette arithmétique est la première arithmétique réelle en précision arbitraire dotée d'un jeu complet d'algorithmes mathématiquement prouvés.

Mots clés: Arithmetic; Arbitrary precision; Computable real numbers; Proved arithmetic

Mots clés: Arithmétique; Précision arbitraire; Nombres réels calculables; Arithmétique prouvée

Domaines: Informatique [cs]

Valérie Ménissier-Morain. Arbitrary precision real arithmetic: design and algorithms. [Research Report] lip6.2003.003, LIP6. 2003. ⟨hal-02545650⟩