A categorification of the quantum Lefschetz principle
Une catégorification du principe de Lefschetz quantique
Résumé
The quantum Lefschetz formula explains how virtual fundamental classes (or structure sheaves) of moduli stacks of stable maps behave when passing from an ambient target scheme to the zero locus of a section. It is only valid under special assumptions (genus $0$, regularity of the section and convexity of the bundle). In this paper, we give a general statement at the geometric level removing these assumptions, using derived geometry. Through a study of the structure sheaves of derived zero loci we deduce a categorification of the formula in the $\infty$-categories of quasi-coherent sheaves. We also prove that Manolache's virtual pullbacks can be constructed as derived pullbacks, and use them to recover the classical quantum Lefschetz formula when the hypotheses are satisfied.
Le principe de Lefschetz quantique élucide le comportement des classes fondamentales (ou faisceaux structuraux) virtuels lorsque l'on passe d'un schéma cible ambiant au lieu des zéros d'une section de fibré. Il n'est valide que sous certaines hypothèses (genre $0$, régularité de la section, et convexité du fibré). Dans cet article, nous donnons un énoncé général au niveau géométrique qui écarte ces hypothèses, à l'aide de la géométrie dérivée. En passant par une étude des faisceaux structuraux de lieux de zéros dérivés, nous en déduisons une catégorification de la formule dans l'$\infty$-catégorie des faisceaux quasi-cohérents. Nous montrons également que les images inverses virtuelles de Manolache peuvent être construites comme des tirés en arrière dérivés, et les utilisons pour recouvrer la formule de Lefschetz quantique classique dans la situation où les hypothèses sont vérifiées.
Origine : Fichiers produits par l'(les) auteur(s)