The entropy, from Clausius to functional inequalities

L'entropie, de Clausius aux inégalités fonctionnelles

Ivan Gentil (1)

1 EDPA - Équations aux dérivées partielles, analyse

In this document we are interested in entropy. Entropy is multiple, the idea is to describe the definition proposed by the physicist Clausius. Indeed, Clausius exposes in 1865 the second principle of thermodynamics and also proposes the concept of entropy. Instead of simply defining a functional, central point for the development of the second principle, it will in fact define a concept sufficiently general to be used in many fields of mathematics. In these few pages, I wish to show the role played by entropy in the field of gradient flows and functional inequalities. Starting from the definition of Clausius in 1865, I will try to explain how fundamental functional inequalities like Sobolev inequality, key point in analysis, are natural inked with a particular entropy. This path allows me to give an overview of the use of gradient flows in finite or infinite dimension, of Bakry-Emery theory and more recently of Otto's calculus.

Nous nous intéressons dans ce document à l'entropie. L'entropie est multiple, l'idée est de la décrire dans le prolongement de sa définition proposée par le physicien Clausius. En effet, Clausius expose en 1865 le second principe de la thermodynamique et propose aussi le concept d'entropie. Au lieu de définir simplement une fonctionnelle, point central pour l'élaboration du second principe, il va en fait définir un concept suffisamment général pour qu'il soit utilisé dans de nombreux domaines des mathématiques. Dans ces quelques pages, je souhaite faire apparaître le rôle joué par l'entropie dans le domaine de l'étude des flots de gradient et des inégalités fonctionnelles. Partant de la définition de Clausius en 1865, je vais tenter d'expliquer comment des inégalités fonctionnelles fondamentales comme l'inégalité de Sobolev, point clé en analyse, sont des inégalités de structures naturelles reliées à une certaine entropie. Ce cheminement me permet de donner un aperçu de l'utilisation des flots de gradient en dimension finie ou infinie, de la théorie de Bakry-Emery et plus récemment du calcul d'Otto.

Domaines: Probabilités [math.PR]

Ivan Gentil. L'entropie, de Clausius aux inégalités fonctionnelles. 2020. ⟨hal-02464182v2⟩