New H(div)-conforming multiscale hybrid-mixed methods for the elasticity problem on polygonal meshes
Résumé
This work proposes a family of multiscale hybrid-mixed methods for the two-dimensional linear elasticity problem on general polygonal meshes. The new methods approximate displacement, stress, and rotation variables using two-scale discretizations. The first scale level setting consists of approximating the traction variable (Lagrange multiplier) in discontinuous polynomial spaces, and of computing rigid-body modes element wisely. In the second scale level, the methods are made effective by solving completely independent local Newmann elasticity problems written in a mixed form with weak symmetry enforced via a rotation multiplier. Since the finite-dimensional space for the traction variable constrains the discrete space for the local stress tensor, the discrete stress field lies in the H(div) space globally and stays in local equilibrium with external forces. We propose different choices to approximate local problems based on locally stable pairs of finite elements defined on affine second-level meshes. Those choices generate the family of multiscale finite element methods for which stability and convergence are proved in a unified framework. Notably, we prove that the methods are optimal and high-order convergent in the natural norms. Also, it emerges that the approximate displacement and stress divergence are super-convergent in the L2-norm. Numerical verification assess theoretical results and highlight the high precision of the new methods on coarse meshes for multilayered heterogeneous material problems.
On propose une famille de méthodes mixtes hybrides multi-échelles pour le problème d'élasticité linéaire bidimensionnelle sur des maillages polygonaux généraux. Les nouvelles méthodes approchent le déplacement, la contrainte et la rotationà l'aide de discrétisationsà deuxéchelles. Le premier niveau consisteà approcher la traction (multiplicateur de Lagrange) dans des espaces polynomiaux discontinus, età calculer judicieusement les mouvements de corps rigides. Dans le deuxième niveau d'échelle, les méthodes sont rendues efficaces en résolvant des problèmes d'élasticité locaux du type Neumann complètement indépendantsécrits sous une forme mixte avec une symétrie faible, imposée via un deuxième multiplicateur de Lagrange. Étant donné que l'espace de dimension finie pour la traction contraint l'espace discret pour le tenseur de contrainte local, le champ de contraintes discrètes se situe dans l'espace H(div) global et reste enéquilibre local avec des forces externes. Nous proposons différents choix pour approcher les problèmes locaux basés sur des paires d'éléments finis localement stables définies sur des mailles affines de second niveau. Ces choix génèrent la famille de méthodes d'éléments finis multi-échelles pour lesquelles la stabilité et la convergence sont prouvées dans un cadre unifié. Notamment, nous prouvons que les méthodes sont optimales et convergentes dans les normes naturelles. De plus, on démontre que le déplacement et la divergence des contraintes discrètes sont super-convergents dans la norme L2. Des essais numériques valident les résultats théoriques et mettent enévidence la bonne précision des nouvelles méthodes sur des mailles grossières pour des problèmes de matériaux hétérogènes multicouches.
Domaines
Analyse numérique [math.NA]
Origine : Fichiers produits par l'(les) auteur(s)
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