The Boltzmann equation and relaxation-time approximation for electron transport in solids
L'équation de transport électronique de Boltzmann dans les solides et l'approximation du temps de relaxation
Résumé
The paper revisits the theoretical account of electron transport in a crystalline solid resting upon the Boltzmann kinetic equation and taught to graduate students. In view of Bardeen's and Peierls' distrust in the relaxation-time approximation to the scattering term present in that equation, the present account of the charge and heat current densities is based upon the physical fact that, in electron-lattice scattering events, the electron's energy is relaxed at a much weaker rate than the instantaneous velocity. It is also considered that the charge and heat transports through the gas of conduction electrons entail but a small disturbance of the gas thermodynamic equilibrium. The latter is ensured by the lattice vibrations which impose their temperature to the electron gas hosted at the same location. Under these conditions, a fluid-dynamical view of electron transport is obtained where the pressure of the electron gas plays a simple role. It is explained how the Boltzmann transport equation leads to an electric-current density controlled by the negative electrochemical gradient --in the absence of a temperature gradient-- although in that equation only the electrical gradient explicitly appears. The present account encompasses metallic and n-type semiconducting solids. The formulae for the electrical and thermal current densities are arrived at without resorting to the relaxation-time ansatz for the scattering term, yet at no extra mathematical cost. The unnecessary ansatz is subsequently examined in some detail. It is shown to lack consistency with the local formulation of the first and second laws of thermodynamics even though it purports to account for the thermodynamic equilibration of the gas of conduction electrons. The ansatz is also shown to entail identical rates of energy and velocity relaxations, in
open contradiction to the physics of electron scattering in real conducting solids.
Cet article réexamine la description théorique du transport électronique dans un solide cristallin fondée sur l'équation cinétique de Boltzmann telle qu'elle est enseignée aux étudiants en doctorat. Le terme de collision présent dans cette équation est souvent remplacé par une « approximation du temps de relaxation » qui a été désavouée par Bardeen et Peierls. Nous proposons à la place une description des transports de charge électrique et de chaleur fondée sur le fait que, dans les collisions électron-réseau, l'énergie de l'électron est relaxée à un taux très inférieur au taux de relaxation de la vitesse instantanée. On considère aussi que les transports de charge et de chaleur n'entraînent qu'une faible perturbation de l'équilibre thermodynamique du gaz d'électrons. Cet équilibre est assuré par les vibrations de réseau qui imposent leur température locale au gaz électronique hébergé dans le réseau. Dans ces conditions, l'écoulement des électrons est décrit en termes de dynamique d'un fluide, régie par la pression de ce fluide. On montre comment l'équation de transport de Boltzmann aboutit à une densité de courant électrique déterminée par le gradient électrochimique --en l'absence d'un gradient de température-- alors que seul le gradient électrique apparaît dans cette équation. Cette description englobe tout à la fois les solides métalliques et semi-conducteurs. Les expressions des densités de courant électrique et thermique sont obtenues sans recourir à l'ansatz du temps de relaxation pour simplifier l'effet des collisions, mais sans effort mathématique supplémentaire. On examine ensuite cet ansatz en détail. On montre qu'il est en contradiction avec les principes de la thermodynamique alors même qu'il vise à rendre compte de l'équilibrage thermodynamique local du gaz des électrons de conduction. On montre aussi que cet ansatz implique l'identité des taux de relaxation de l'énergie et de la vitesse instantanée en contradiction flagrante avec la véritable physique des collisions dans les solides.
Domaines
Physique [physics]
Origine : Fichiers produits par l'(les) auteur(s)
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