Une construction d'extensions faiblement non ramifiées d'un anneau de valuation

Laurent Moret-Bailly (1)

1 IRMAR - Institut de Recherche Mathématique de Rennes

Given a valuation ring $V$, with residue field $F$ and value group $\Gamma$, we give a sufficient condition for a local ring dominating $V$ to be a valuation ring with the same value group. When $V$ contains a field $k$, we apply this result to the problem of constructing a valuation ring $W$ containing $V$ and a prescribed extension $k'$ of $k$, with value group $\Gamma$ and residue field generated by $k'$ and $F$; this is possible in particular when either $k'$ or $F$ is separable over $k$.

Étant donné un anneau de valuation $V$, de corps résiduel $F$ et de groupe des valeurs $\Gamma$, on donne une condition suffisante pour qu'un anneau local dominant $V$ soit un anneau de valuation de groupe $\Gamma$. Lorsque $V$ contient un corps $k$, ce résultat est appliqué à la construction d'un anneau de valuation contenant $V$ et une extension donnée $k'$ de $k$, de groupe $\Gamma$ et de corps résiduel engendré par $k'$ et $F$. Cela s'avère possible, notamment, lorsque $k'$ ou $F$ est séparable sur $k$.

Mots clés: Valuation ring; weakly unramified extension; separable field extension

Domaines: Algèbre commutative [math.AC]; Géométrie algébrique [math.AG]

Laurent Moret-Bailly. Une construction d'extensions faiblement non ramifiées d'un anneau de valuation. Rendiconti del Seminario Matematico della Università di Padova, A paraître. ⟨hal-02296770v2⟩