On the orbital stability of a family of traveling waves for the cubic Schrödinger equation on the Heisenberg group

Autour de la stabilité orbitale d'une famille d'ondes progressives pour l'équation de Schrödinger cubique sur le groupe de Heisenberg

Louise Gassot (1, 2)

1 LMO - Laboratoire de Mathématiques d'Orsay
2 DMA - Département de Mathématiques et Applications - ENS Paris

We consider the focusing energy-critical Schrödinger equation on the Heisenberg group in the radial case \[ i\partial_t u-\Delta_{\mathbb{H}^1} u=|u|^2u, \quad\Delta_{\mathbb{H}^1}=\frac{1}{4}(\partial_x^2+\partial_y^2)+(x^2+y^2)\partial_s^2, \quad(t,x,y,s)\in \mathbb{R}\times\mathbb{H}^1, \] which is a model for non-dispersive evolution equations. For this equation, existence of smooth global solutions and uniqueness of weak solutions in the energy space are open problems. We are interested in a family of ground state traveling waves parametrized by their speed $\beta \in (-1,1)$. We show that the traveling waves of speed close to $1$ present some orbital stability in the following sense. If the initial data is radial and close enough to one traveling wave, then there exists a global weak solution which stays close to the orbit of this traveling wave for all times. A similar result is proven for the limiting system associated to this equation.

On considère l'équation de Schrödinger cubique sur le groupe de Heisenberg dans le cas radial \[ i\partial_t u-\Delta_{\mathbb{H}^1} u=|u|^2u, \quad\Delta_{\mathbb{H}^1}=\frac{1}{4}(\partial_x^2+\partial_y^2)+(x^2+y^2)\partial_s^2, \quad(t,x,y,s)\in \mathbb{R}\times\mathbb{H}^1, \] qui est un modèle d'équation d'évolution non dispersive. Pour cette équation, l'existence de solutions globales régulières et l'unicité de solutions faibles dans l'espace d'énergie sont des problèmes ouverts. On s'intéresse à une famille d'ondes progressives de vitesse $\beta \in ]-1,1[$. On montre que les ondes progressives de vitesse proche de $1$ présentent une forme de stabilité orbitale dans le sens suivant. Pour une donnée initiale radiale proche d'une onde progressive, il existe une solution faible qui reste proche de l'orbite de cette onde progressive en tout temps. Un résultat similaire est montré pour l'équation limite associée.

Domaines: Equations aux dérivées partielles [math.AP]

Louise Gassot. On the orbital stability of a family of traveling waves for the cubic Schrödinger equation on the Heisenberg group. 2019. ⟨hal-02288854⟩