Partial sums of the cotangent function

Sandro Bettin (1) , Sary Drappeau (2)

1 Dipartimento di Matematica [Genova]
2 I2M - Institut de Mathématiques de Marseille

We prove the existence of reciprocity formulae for sums of the form $\sum_{m=1}^{k-1}f\pr{\frac{m}{k}}\cot\pr{\pi \frac{m h}k}$ where $f$ is a piecewise~$C^1$ function, featuring an alternating phenomenon not visible in the classical case where~$f(x)=x$. We deduce bounds for these sums in terms of the continued fraction expansion of~$h/k$.

Nous prouvons l'existence de formules de réciprocité pour des sommes de la forme~$\sum_{m=1}^{k-1} f(\frac{m}k) \cot(\pi\frac{mh}k)$, où~$f$ est une fonction~$C^1$ par morceaux, qui met en évidence un phénomène d'alternance qui n'apparaît pas dans le cas classique où~$f(x) = x$. Nous déduisons des majorations de ces sommes en termes du développement en fraction continue de~$h/k$.

Domaines: Théorie des nombres [math.NT]

Sandro Bettin, Sary Drappeau. Partial sums of the cotangent function. Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux, 2020, 32 (1), pp.217-230. ⟨10.5802/jtnb.1119⟩. ⟨hal-02189191⟩