FROM THE BACKWARD KOLMOGOROV PDE ON THE WASSERSTEIN SPACE TO PROPAGATION OF CHAOS FOR MCKEAN-VLASOV SDES

Noufel Frikha (1) , Paul-Eric Chaudru de Raynal (2)

1 LPSM (UMR_8001) - Laboratoire de Probabilités, Statistique et Modélisation
2 LAMA - Laboratoire de Mathématiques

This article is a continuation of our first work \cite{chaudruraynal:frikha}. We here establish some new quantitative estimates for propagation of chaos of non-linear stochastic differential equations in the sense of McKean-Vlasov. We obtain explicit error estimates, at the level of the trajectories, at the level of the semi-group and at the level of the densities, for the mean-field approximation by systems of interacting particles under mild regularity assumptions on the coefficients. A first order expansion for the difference between the densities of one particle and its mean-field limit is also established. Our analysis relies on the well-posedness of classical solutions to the backward Kolmogorov partial differential equations defined on the strip $[0,T] \times \mathbb{R}^d \times \mathcal{P}_2(\mathbb{R}^d)$, $\mathcal{P}_2(\mathbb{R}^d)$ being the Wasserstein space, that is, the space of probability measures on $\mathbb{R}^d$ with a finite second-order moment and also on the existence and uniqueness of a fundamental solution for the related parabolic linear operator here stated on $[0,T]\times \mathcal{P}_2(\mathbb{R}^d)$.

Cet article est la suite de notre premier travail \cite{chaudruraynal:frikha}. Nous \'etablissons ici de nouvelles estimations quantitatives pour la propagation du chaos des \'equations diff\'erentielles stochastiques non-lin\'eaires au sens de McKean-Vlasov. Nous obtenons des estimations d'erreurs explicites, au niveau des trajectoires, au niveau du semi-groupe et au niveau des densit\'es de transition, pour l'approximation champ moyen par des syst\`emes de particules en interaction sous de faibles hypoth\`eses de r\'egularit\'e sur les coefficients. Un d\'eveloppement \`a l'ordre un pour la diff\'erence entre les densit\'es d'une particule et celle de sa limite champ moyen est \'egalement \'etabli. Notre analyse repose sur le caract\`ere bien pos\'e de solutions classiques aux \'equations aux d\'eriv\'ees partielles de Kolmogorov r\'etrogrades d\'efinies sur la bande $[0,T] \times \mathbb{R}^d \times \mathcal{P}_2(\mathbb{R}^d)$, $\mathcal{P}_2(\mathbb{R}^d)$ \'etant l'espace de Wasserstein, c'est-\`a-dire l'espace des mesures de probabilit\'es sur $\mathbb{R}^d$ de moment d'ordre deux fini et aussi sur l'existence et l'unicit\'e d'une solution fondamentale pour l'op\'erateur parabolique lin\'eaire associ\'e \'enonc\'e ici sur $[0,T]\times \mathcal{P}_2(\mathbb{R}^d)$.

Domaines: Equations aux dérivées partielles [math.AP]; Probabilités [math.PR]

Noufel Frikha, Paul-Eric Chaudru de Raynal. FROM THE BACKWARD KOLMOGOROV PDE ON THE WASSERSTEIN SPACE TO PROPAGATION OF CHAOS FOR MCKEAN-VLASOV SDES. Journal de Mathématiques Pures et Appliquées, 2021, 156, pp.1-124. ⟨10.1016/j.matpur.2021.10.010⟩. ⟨hal-02168772v2⟩