Catalan numbers' Cn computation chard of of branched polymers up to a DP 22
Table de calcul des nombres de Catalan de polymères ramifiés jusque à DP 22
Résumé
Random clivage of branched polymers composed of two different (a) and (b) linking types lead to complex oligomeric mixtures of various polymeric degree (DP). Each family of given DP consists in a mixture of molecules containing all possible combinations of (a) and/or (b) sub-structure. For example, the industrial hydrolysis of starches composed of polymers [alpha (1-4)] and [alpha (1-6) produce syrups mixtures with a low DP (typically from 1 to 20). The number of potential oligosaccharidic structures accessible by random hydrolysis of these branched polymers grow exponentially with the DP. The number of isomeric structures for each given DP (n) is a Catalan number, noted C(n), with C(n) = (1 / ( n + 1)) (2nn) = (2n)! / (n! (n + 1)!). The calculation gives 2 isomers (maltose and isomaltose) for a disaccharide (DP2), 16796 deca-saccharides potential isomers (DP10) and more than 6 million potential eicosasaccharide isomers (DP20).
Le clivage aléatoire de polymères branchés par deux types de liaisons différentes (a ou b) conduit à des mélanges complexes d'oligomères de degré de polymérisation (DP) différents. Chaque famille de DP donné est composé de mélanges de molécules de structure contenant toutes les combinaisons possibles des 2 sous-structures (a) et/ou (b). Par exemple l’hydrolyse industrielle d’amidons composé de polymères [alpha (1-4)] et [alpha (1-6] permet de produire des mélanges sous forme de sirops de faibles DP (typiquement de 1 à 20). Le nombre de structures oligosaccharidiques potentielle accessibles par hydrolyse aléatoire de ces polymères ramifiés croît de façon exponentielle avec le DP. Le nombre de structures isomères pour un DP donné (n) est un nombre de Catalan noté C(n) avec C(n)= (1/(n+1)) (2nn)= (2n)!/(n!(n+1)!). Le calcul montre que l'on accède à 2 isomères (maltose et isomaltose) pour le disaccharide (DP2), 16796 isomères déca-saccharides (DP10) et plus de 6 millions d’isomères eicosasaccharide (DP20) potentiels différents.