On the Complexity of Polynomial Matrix Computations
Résumé
We study the link between the complexity of polynomial matrix multiplication and the complexity of solving other basic linear algebra problems on polynomial matrices. By polynomial matrices we mean n x n matrices of degree d over K[x] where K is a commutative field. Under the straight-line program model we show that multiplication is reducible to the problem of computing the coefficient of degree d of the determinant. Conversely, we propose algorithms for minimal approximant computation and column reduction that are based on polynomial matrix multiplication; for the determinant, the straight-line program we give also relies on matrix product over K[x] and provides an alternative to Storjohann's determinant algorithm. We further show that all these problems can be solved in particular in O~(n^w d) operations in K. Here the "soft Oh'' notation O~ indicates some missing log(nd) factors and w is the exponent of matrix multiplication overK.
On étudie le lien entre la complexité du produit de matrices polynomiales et celle d’autres opérations élémentaires de l’algèbre linéaire des matrices polynomiales. Par matrices polynomiales on entend des matrices nxn de degré d surK[x], K étant un corps commutatif. Avec le modèle “straight-line” nous montrons que le produit se réduit au calcul du coefficient de degré d du déterminant. Réciproquement, on propose pour certains approximants matriciels minimaux et la forme colonne réduite des algorithmes basés sur le produit de matrices;pour le déterminant, on donne un programme “straight-line” également à base de produit matriciel, qui fournit une alternative `a l’algorithme de [16]. On montre de plus que tous ces problèmes peuvent être résolus en particulier en O ̃(nωd) opérations sur K. La notation O ̃ contient des facteurs log(nd) et ω est l’exposant du produit de matrices sur K.
Origine : Fichiers produits par l'(les) auteur(s)
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