Geometry of weighted recursive and affine preferential attachment trees

Géométrie des arbres récursifs pondérés et à attachement préférentiel affine

Delphin Sénizergues (1)

1 LAGA - Laboratoire Analyse, Géométrie et Applications

We study two models of growing recursive trees. For both models, initially the tree only contains one vertex u_1 and at each time n ≥ 2 a new vertex u_n is added to the tree and its parent is chosen randomly according to some rule. In the weighted recursive tree, we choose the parent u_k of u_n among {u_1 , u_2 ,. .. , u_{n−1} } with probability proportional to w_k , where (w_n) _{n≥1} is some deterministic sequence that we fix beforehand. In the affine preferential attachment tree with initial fitnesses, the probability of choosing the same u_k is proportional to a_k + deg^+(u_k), where deg^+(u_k) denotes its current number of children, and the sequence of initial fitnesses (a_n)_{n≥1} is deterministic and chosen as a parameter of the model. We show that for any sequence (a_n)_{n≥1}, the corresponding preferential attachment tree has the same distribution as some weighted recursive tree with a random sequence of weights (with some explicit distribution). We then prove almost sure convergences in the scaling limit for some statistics associated to weighted recursive trees as time goes to infinity, such as degree sequence, height, profile and measures. Thanks to the connection between the two models, these results also apply to affine preferential attachment trees.

On étudie deux modèles d'arbres aléatoires récursifs. Dans les deux, on part à l'instant 1 d'un arbre contenant un unique sommet u_1 et à chaque instant n ≥ 2, un nouveau sommet est ajouté à l'arbre et son parent est choisi aléatoirement selon une certaine règle. Dans l'arbre récursif pondéré, on choisit le parent u_k de u_n parmi les sommets {u_1 , u_2 ,. .. , u_{n−1} } avec une probabilité proportionnelle à w_k, où (w_n) _{n≥1} i est une suite déterministe que l'on se fixe au départ. Dans l'arbre à attachement préférentiel affine avec poids initiaux, la probabilité de choisir le sommet u_k est proportionnelle à a_k + deg^+(u_k), où deg^+(u_k) dénote le nombre actuel d'enfant du sommet u_k et la suite de poids initiaux (a_n)_{n≥1} est déterministe. On montre que pour toute suite (a_n)_{n≥1}, l'arbre à attachement préférentiel correspondant a la même loi qu'un arbre récursif pondéré dont la suite de poids est aléatoire (et dont la loi est explicite). On prouve ensuite des convergences presque sûres dans la limite d'échelle pour des statistiques associées aux arbres récursifs pondérés après un nombre d'étape qui tend vers l'infini, comme la suite des degrés, la hauteur, le profil et certaines mesures portées par l'arbre. Grâce à la connexion entre ces deux modèles, ces résultats s'appliquent aussi aux arbres à attachement préférentiel affine avec poids initiaux.

Domaines: Probabilités [math.PR]

Delphin Sénizergues. Geometry of weighted recursive and affine preferential attachment trees. 2019. ⟨hal-02100835⟩