Fractional chromatic number, maximum degree and girth

Nombre chromatique fractionnaire, degré maximum et maille

François Pirot (1, 2) , Jean-Sébastien Sereni (3, 4)

1 ORPAILLEUR - Knowledge representation, reasonning
2 Radboud University [Nijmegen]
3 CNRS - Centre National de la Recherche Scientifique
4 ICube - Laboratoire des sciences de l'ingénieur, de l'informatique et de l'imagerie

We prove new lower bounds on the independence ratio of graphs of maximum degree ∆ ∈ {3, 4, 5} and girth g ∈ {6,. .. , 12}, notably 1/3 when (∆,g)=(4, 10) et 2/7 when (∆,g)=(5, 8). We also demonstrate that every graph of girth at least 7 and maximum degree ∆ has fractional chromatic number at most min (2∆+2 k−3 +k)/k over k∈N. In particular, the fractional chromatic number of a graph of girth 7 and maximum degree ∆ is at most (2∆+9)/5 when ∆ ∈ [3, 8], at most (∆+7)/3 when ∆ ∈ [8, 20], at most (2∆+23)/7 when ∆ ∈ [20, 48], and at most ∆/4 + 5 when ∆ ∈ [48, 112].

Nous démontrons de nouvelles bornes inférieures sur le quotient d'indépendance des graphes de degré maximum ∆ ∈ {3,4,5} et maille g ∈ {6,. .. , 12}, notamment 1/3 lorsque (∆,g)=(4, 10) et 2/7 lorsque (∆,g)=(5, 8). Nous démontrons également que tout graphe de maille au moins 7 et de degré maximum ∆ a nombre chromatique fractionnaire au plus min (2∆+2 k−3 +k)/k pour k∈N. En particulier, le nombre chromatique fractionnaire d'un graphe de maille 7 et degré maximum ∆ est au plus (2∆+9)/5 lorsque ∆ ∈ [3, 8], au plus (∆+7)/3 lorsque ∆ ∈ [8, 20], au plus (2∆+23)/7 lorsque ∆ ∈ [20, 48], et au plus ∆/4 + 5 lorsque ∆ ∈ [48, 112].

Domaines: Combinatoire [math.CO]; Mathématique discrète [cs.DM]

François Pirot, Jean-Sébastien Sereni. Fractional chromatic number, maximum degree and girth. 2019. ⟨hal-02096426v2⟩