The weight of irreducible polynomials over a finite field

Le poids des polynômes irréductibles à coefficients dans un corps fini

Mireille Car (1) , Christian Mauduit (1)

1 I2M - Institut de Mathématiques de Marseille

This work concerns the weight of irreducible polynomials over a finite field, i. e. the number of non-zero coefficients of these polynomials. We introduce a polynomial analog of the Vinogradov's method developed by Gallagher and Vaughan, which leads to upper bounds for associated exponential sums. This allows us to study the distribution in arithmetic progressions of the weight of irreducible polynomials and to provide an asymptotic estimate (with an error term) for the number of irreducible polynomials of a given degree whose weight is close to the expected value.

Ce travail concerne le poids des polynômes irreductibles sur un corps fini, c'est-à-dire le nombre de coefficients non nuls de ces polynômes. Nous introduisons un analogue polynomial de la méthode de Vinogradov développée par Gallagher et Vaughan afin de majorer les sommes d'exponentielles associées. Cela nous permet d'une part d'étudier la répartition dans les progressions arithmétiques du poids des polynômes irréductibles et d'autre part de donner une estimation asymptotique (avec terme d'erreur) du nombre de polynômes irréductibles de degré fixé ayant un poids donné proche de la valeur moyenne.

Domaines: Mathématiques [math]; Théorie des nombres [math.NT]

Mireille Car, Christian Mauduit. Le poids des polynômes irréductibles à coefficients dans un corps fini. 2019. ⟨hal-02088354⟩