Lectures on elliptic methods for hybrid inverse problems

Giovanni S. Alberti (1) , Yves Capdeboscq (2)

1 UniGe - Università degli studi di Genova = University of Genoa
2 LJLL (UMR_7598) - Laboratoire Jacques-Louis Lions

In recent years, several new imaging modalities have been developed in order to be able to detect physical parameters simultaneously at a high spatial resolution and with a high sensitivity to contrast. These new approaches typically rely on the interaction of two physical imaging methods, and the corresponding mathematical models are the so-called hybrid, or coupled-physics, inverse problems. The combination of two physical modalities poses new mathematical challenges: the analysis of this new class of inverse problems requires the use of various mathematical tools, often of independent inter- est. This book intends to provide a first comprehensive course on some of these tools (mainly related to elliptic partial differential equations) and on their applications to hybrid inverse problems. For certain topics, such as the observability of the wave equation, the generalisation of the Rado ́-Kneser-Choquet Theorem to the conductivity equation, complex geomet- rical optics solutions and the Runge approximation property, we review well-known results. The material is presented with a clear focus on the intended applications to in- verse problems. On other topics, including the regularity theory and the study of small- volume perturbations for Maxwell’s equations, scattering estimates for the Helmholtz equation and the study of non-zero constraints for solutions of certain PDE, we discuss several new results. We then show how all these tools can be applied to the analysis of the parameter reconstruction for some hybrid inverse problems: Acousto-Electric tomogra- phy, Current Density Impedance Imaging, Dynamic Elastography, Thermoacoustic and Photoacoustic Tomography.

Récemment plusieurs nouvelles modalités d'imagerie ont été développées afin de permettre la détection de paramètres physiques avec une haute résolution spatiale et une forte sensibilité au contraste, simultanément. Ces nouvelles approches proviennent typiquement de l'interaction entre deux méthodes d'imagerie physique, et les modèles mathématiques correspondants sont appelés des problèmes inverses hybrides, ou multi-physiques. L'association de deux modalités physiques pose de nouveaux défis mathématiques, et l'analyse de cette nouvelle e de problèmes inverses requiert l'utilisation d'outils mathématiques variés, souvent intéressant en eux-mêmes. L'objet de ce livre est de fournir un premier cours complet sur certains de ces outils (principalement issus des équations aux dérivées partielles elliptiques) et de leurs applications aux problèmes inverses hybrides. Sur certains sujets, tels que l'observabilité de l'équation des ondes, l'extension du Théorème de Radó-Kneser-Choquet à l'équation de conduction, les solutions de l'optique géométrique complexes et la propriété d'approximation de Runge, nous passons en revue des résultats bien connus. Ces éléments sont présentés dans une perspective clairement orientée vers les applications aux problèmes inverses voulues. Pour d'autre sujets, comprenant la théorie de la régularité et l'étude de perturbations de faible volume pour les équations de Maxwell, les estimations de dispersion pour l'équation de Helmholtz et l'étude de contraintes de non nullité pour les solutions de certaines EDP, nous présentons plusieurs résultats nouveaux. Nous montrons alors comment tous ces outils peuvent êtres appliqués à l'analyse de la reconstruction de paramètres de certains problèmes inverses hybrides : la tomographie acousto-électrique, l'imagerie d'impedance par densité de courant, l'élastographie Dynamique, la tomographie Thermoacoutisque et Photoacoustique.

Mots clés: Tomographie thermonacoustique; Elastographie Dynamique; Imagerie d'Impedance par Densite de Courant; Tomographie Acousto-Electrique.; Tomographie Photoacoustique; Continuation Unique; Propriete d'Approximation de Runge; Solutions de l'Optique Geometrique Complexes; Points Critiques; Perturbations de faible volume; Tenseurs de Polarisation; Equations d'Helmholtz; Observabilite; Controlabilite; Methode d'Unicite de Hilbert; Equation des Ondes; Theoreme de Rado-Kneser-Choquet; Functions de Bessel; Estimations de Dispersion; Regularie Elliptique; Equations de Maxwell; Imagerie Hybride; Problemes inverses multi-physique

Domaines: Equations aux dérivées partielles [math.AP]; Analyse numérique [math.NA]

Giovanni S. Alberti, Yves Capdeboscq. Lectures on elliptic methods for hybrid inverse problems. Julie DÉSERTI. Société Mathématique de France, Paris, 25, pp.vii + 230, 2018, Cours Spécialisés [Specialized Courses], Stéphane SEURET, 978-2-85629-872-5. ⟨hal-02083835⟩