Le théorème d'André-Chudnovsky-Katz « au sens large »

Gabriel Lepetit (1, 2)

1 UGA [2016-2019] - Université Grenoble Alpes [2016-2019]
2 IF - Institut Fourier

Siegel's $E$- and $G$-functions were defined in two conjecturally equivalent senses, strict and broad. By taking up and completing a sketch of Andre, we state and prove the analogue in the broad sense of the André-Chudnovsky-Katz theorem, which is a structure theorem on the $G$-operators in the broad sense (they are differential operators cancelling the $G$-functions in the strict sense). We deduce from that a structure theorem on the $E$-operators in the broad sense, which are differential operators cancelling the $E$-functions in the broad sense. As an application of this last theorem, we give a new proof of a generalization by André of the Siegel-Shidlovskii theorem on the algebraic independence of the values of $E$-functions n the broad sense.

Les $E$- et $G$-fonctions de Siegel ont été définies en deux sens, strict et large, conjecturalement équivalents. En reprenant et complétant une esquisse d'André, nous énonçons et démontrons l'analogue au sens large du théorème d'André-Chudnovsky-Katz, qui est un théorème de structure sur les $G$-opérateurs au sens strict (il s'agit d'opérateurs différentiels annulant les $G$-fonctions au sens strict). Nous en déduisons un théorème de structure sur les $E$-opérateurs au sens large, qui sont des opérateurs différentiels annulant les $E$-fonctions au sens large. En application de ce dernier théorème, nous donnons une nouvelle preuve d'une généralisation par André du théorème de Siegel-Shidlovskii sur l'indépendance algébrique des valeurs des $E$-fonctions au sens large.

Mots clés: E-functions; G-functions; E-operators; G-operators; Chudnovsky's theorem

Domaines: Théorie des nombres [math.NT]

Gabriel Lepetit. Le théorème d'André-Chudnovsky-Katz « au sens large ». 2019. ⟨hal-02024884v4⟩