Non-existence for travelling waves with small energy for the Gross–Pitaevskii equation in dimension $N\geq 3$
Résumé
We prove that the Ginzburg–Landau energy of non-constant travelling waves of the Gross–Pitaevskii equation has a lower positive bound, depending only on the dimension, in any dimension larger or equal to three. In particular, we conclude that there are no non-constant travelling waves with small energy. To cite this article: A. de Laire, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 347 (2009).
AEÓÒ¹¹ÜÜ×ØØÒÒÒ ÓÖ ØÖÖÚÐÐÐÒÒ ÛÚ× ÛÛØØ ×ÑÑÐÐ ÒÒÖÖÝ ÓÖ ØØØ ÖÓ××¹ÈÈØØØÚ×××× ÕÙÙØØÓÒ Ò ÑÑÒ××ÓÒ N ≥ 3 ÒÒÖÖ ÄÄÄÖÖ ÐÐÐÖÖÖÖÒÒººÙ××××ÙººÖ ÍÈÅÅ ÍÒÒÚ ÈÖÖ× ¼¼¸ÍÅʸ¼¼¸ÍÅʼ¼¸ÍÅʸ ÄÄÄÓÖÖØÓÓÖÖ ÂÂÂÕÙÙ×¹ÄÓÙÙ× ÄÄÓÒ׸ ¹¹¹¼¼¼¸ÈÖÖ׸ÖÖÒÒÒ¹¹¹¼¼¼¸ÈÖÖ׸¹¹¹¼¼¼¸ÈÖÖ׸ÖÖÒÒÒ ×ØÖÖÖØ Ï ÔÖÓÚ ØØØØ ØØØ ÒÞÞÙÖÖ¹ÄÄÒÒÒÙ ÒÒÖÖÝ ÓÓ ÒÓÒ¹¹ÓÒ×ØØÒØ ØÖÖÚÐÐÐÒÒ ÛÚ× ÓÓ ØØØ ÖÓ××¹ÈÈØØØÚ×××× ÕÙÙØØÓÒ × ÐÓÛÖ ÔÓ××ØØÚ ÓÙÒÒ¸¹ÓÙÒÒ¸¹ ÔÒÒÒÒÒ ÓÒÐÝ ÓÒ ØØØ ÑÑÒ××ÓÒ¸ÒÑÑÒ××ÓÒ¸Ò ÒÝ ÑÑÒ××ÓÒ ÐÐÖÖÖÖ ÓÖ ÕÙÙÐ ØÓ ØØÖÖÖº ÁÒ ÔÔÖØØØÙÐÐÖ¸ÛÔÔÖØØØÙÐÐÖ¸Û ÓÒÒÐÙÙÙ ØØØØ ØØØÖÖ ÖÖ ÒÓ ÒÓÒ¹¹ÓÒ×ØØÒØ ØÖÖÚÐÐÐÒÒ ÛÚ× ÛÛØØ ×ÑÑÐÐ ÒÒÖÖݺ ÊÊ×ÙÑÑ AEÓÒ ÜÜ×ØØÒÒÒ ÔÓÙÖ ÐÐ× ÓÒÒÒ× ÔÖÓÓÖÖ×××Ú× ³³ÒÒÖÖÖÖ ÔØØØØ ÔÓÙÖ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ÖÓ××¹ÈÈØØØÚ×××× Ò ÑÑÒ××ÓÒ N ≥ 3º ÇÒ ÑÓÒØÖÖ ÕÙ٠г³ÒÒÖÖÖÖ ÒÞÞÙÖÖ¹ÄÄÒÒÒÙ × ÓÒÒÒ× ÔÖÓÓÖÖ×××Ú× ÒÓÒ ÓÒ×ØØÒØØ× Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ÖÓ××¹ÈÈØØØÚ×××× ×Ø ÓÖÒÒÒ ÒÒÒÖÖÖÙÖÖÑÑÒØ ÔÔÖ ÙÒÒ ÓÒ×ØØÒØØ ÔÓ××ØØÚ ÕÙÙ ÒÒ ÔÒÒ ÕÙÙ ÐÐ ÑÑÒ××ÓÒ¸ÔÓÙÖÑÑÒ××ÓÒ¸ÔÓÙÖ ØÓÙØØ ÑÑÒ××ÓÒ ×ÙÔÖÖÖÙÖÖ ÓÙ ÐÐ ØÖÓÓ׺ Ò ÔÔÖØØØÙÐÐÐÖ¸ÓÒÔÔÖØØØÙÐÐÐÖ¸ÓÒ Ò ÙÙØ ÕÙ³³Ð Ò³³ÜÜ×ØØ ÔÔ× ³ÓÒÒÒ ÔÖÓÓÖÖ×××Ú ÒÓÒ ÓÒ×ØØÒØØ ³³ÒÒÖÖÖÖ ÔØØØغ ½ ÎÖ××ÓÒ ÖÖÒÒÒÒ×× ÖÖÖÖÖ ÇÒ ×³³ÒØØÖÖ××× ÙÜ ÓÒÒÒ× ÔÖÓÓÖÖ×××Ú× ÒÓÒ ÓÒ×ØØÒØØ× ³³ÒÒÖÖÖÖ ÒÒÒ ÔÓÙÖ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ÖÓ××¹ÈÈØØØÚ×××× i∂ t Ψ = ∆Ψ + Ψ(1 − |Ψ| 2) Ò× R N × R, Ò ÑÑÒ××ÓÒ N ≥ 3º ÄÄ× ÓÒÒÒ× ÔÖÓÓÖÖ×××Ú× ÔÓÙÖ ØØØ ÕÙÙØØÓÒ ×ÓÒØ × ×ÓÐÙØØÓÒ× ÐÐ ÓÖÑÑ Ψ(x, t) = v(x 1 − ct, x ⊥)¸ x ⊥ = (x 2 ,. .. , x N), ÓÓ ÐÐ ÓÒÒØØÓÒ v ÚÖÖÖÖ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ic∂ 1 v + ∆v + v(1 − |v| 2) = 0 Ò× R N. ´½µ ÖÖÖÖ ÙÜ ÖÖ×ÙÐØØØ× ÖÖÚØ ¿¿¸ÓÒ¿¿¸ÓÒ ÔÙØ ×ÙÔÔÓ××Ö ÕÙÙ ÐÐ ÚÚØØ××× c гÓÒÒÒ ÔÖÓÓÖÖ×××Ú ×Ø ØØÐÐÐ ÕÙÙ 0 < c ≤ √ 2º ÄÄ ÀÀÑÑÐØÓÒÒÒÒ ××Ó´½µ××Ó´½µ ×Ø Ð³³ÒÒÖÖÖÖ ÒÞÞÙÖÖ¹ÄÄÒÒÒÙ ÓÒÒÒÒ ÔÔÖ E(v) = 1 2 R N ||v| 2 + 1 4 R N (1 − |v| 2) 2. ½