BD Entropy and Bernis-Friedman Entropy

Didier Bresch (1) , Mathieu Colin (2) , Khawla Msheik (1) , Pascal Noble (3) , Xi Song

1 LAMA - Laboratoire de Mathématiques
2 Bordeaux INP - Institut Polytechnique de Bordeaux
3 IMT - Institut de Mathématiques de Toulouse UMR5219

In this note, we propose in the full generality a link between the BD entropy introduced by D. Bresch and B. Desjardins for the viscous shallow-water equations and the Bernis-Friedman (called BF) dissipative entropy introduced to study the lubrications equations. Dierent dissipative entropies are obtained playing with the drag terms on the viscous shallow water equations. It helps for instance to prove global existence of nonnegative weak solutions for the lubrication equations starting from the global existence of nonnegative weak solutions for appropriate viscous shallow-water equations.

In this note, we propose in the full generality a link between the BD entropy introduced by D. Bresch and B. Desjardins for the viscous shallow-water equations and the Bernis-Friedman (called BF) dissipative entropy introduced to study the lubrications equations. Different dissipative entropies are obtained playing with the drag terms on the viscous shallow water equations. It helps for instance to prove global existence of nonnegative weak solutions for the lubrication equations starting from the global existence of nonnegative weak solutions for appropriate viscous shallow-water equations. Résumé BD entropie et entropie de Bernis-Friedman. Dans cette note, on propose un lien général entre la BD entropie introduite par D. Bresch et B. Desjardins pour leséquationsleséquations de Saint-Venant visqueuses et l'entropie dissipative de Bernis-Friedman (notée BF) introduite pourétudierpourétudier leséquationsleséquations de lubrifications. Différentes entropies dissipatives sont obtenues suivant le choix des termes de trainée sur Saint-Venant visqueux. Ce lien entre ces deux outils mathématiques aide par exemplè a prouver l'existence de solutions faibles positives pour leséquations leséquations de lubrification en partant de l'existence de solutions faibles positives pour deséquationsdeséquations de Saint-Venant visqueuses bien choisies. Version française abrégée Dans cette note, on propose un lien général entre la BD entropie introduite par D. Bresch et B. Des-jardins pour leséquationsleséquations de Saint-Venant visqueuses (voir [2] et [3]) et l'entropie dissipative de Bernis-Friedman (que l'on notera BF) introduite (voir [6]) pourétudierpourétudier leséquationsleséquations de lubrifications. Différentes entropies dissipatives sont obtenues suivant le choix des termes de trainée sur Saint-Venant visqueux généralisant ainsi quelques travaux importants comme [12], [9]. Ce lien entre les deux outils importants que sont la BD entropie et la BF entropie permet par exemple de construire des solutions faibles du modèle de lubrificationàlubrificationà partir de solutions faibles du modèle de Saint-Venant. Il permetégalementpermetégalement d'obtenir certains résultats sur leséquationsleséquations de Saint-Venant en s'inspirant des résultatsrésultatsétablis sur leséquations leséquations de lubrification qui ontétéontété beaucoup plusétudiéesplusétudiées historiquement. Le système de lubrification s'´ ecrit par exemple

Domaines: Equations aux dérivées partielles [math.AP]; Systèmes dynamiques [math.DS]; Physique mathématique [math-ph]

Didier Bresch, Mathieu Colin, Khawla Msheik, Pascal Noble, Xi Song. BD Entropy and Bernis-Friedman Entropy. 2018. ⟨hal-01911965v2⟩