Corps de Siegel
Résumé
We define a Siegel field to be a subfield K of the algebraic numbers over which a Siegel lemma holds. Known examples include number fields (classical geometry of numbers) and the field of algebraic numbers itself (Roy–Thunder and Zhang). We investigate the situation for other fields. We provide new examples such as real algebraic numbers or Hilbert class fields towers, as well as counterexamples. We also relate the Siegel condition to other properties of K, for example the Northcott property introduced by Bombieri–Zannier. For this we define several series of successive minima for an adelic vector space over K, which give rise to diverse numerical invariants of K (akin to Hermite’s constant). When K is the field of algebraic numbers, we determine their exact values.
Nous appelons corps de Siegel une extension algébrique du corps des nombres rationnels sur laquelle un lemme de Siegel vaut. C’est classiquement le cas pour les corps de nombres mais aussi pour le corps des nombres algébriques d’après Roy–Thunder et Zhang. Nous donnons de nouveaux exemples. Nous montrons aussi qu’il existe des corps qui ne sont pas de Siegel, à savoir les corps de degré infini qui satisfont la propriété de Northcott, introduite par Bombieri–Zannier. Notre démarche repose sur l’étude de plusieurs séries de minima successifs associés à un espace adélique. Les différentes propriétés du corps se lisent sur des quantités généralisant la constante d’Hermite. Dans le cas des nombres algébriques, nous calculons leurs valeurs exactes.