, on peut, à partir de l'ensemble ~(Os), certainement non vide, déterminer la dérivée de f dans toute direction issue de 0~. De même, si f* est inf-compacte dans toutes lés directions et strictement convexe, f, supposée appartenir à F. (E)
,
, Soient f et g quelconques dans R' et soit ~?E
, Il est important de préciser des cas où cette inclusion est une égalité Si f et g appartiennent à F. (E) et si y* est inf-compacte dans toutes les directions sur E', on a, pour tout x E E, Si f et g appartiennent à F. (E)
, si l'une d'entre elles est partout finie et continue sur E et si l'une des deux fonctions polaires et g* est partout finie et continue sur E', on a (2) pour tout .ï?E. Noter que, dans tout ce qui précède, il est indifférent de remplacer la topologie, Si f et appartiennent à (E)
, De même, sur E', on pourra prendre, au lieu de la topologie faible de dual de E, une topologie localement convexe plus fine pourvu qu'elle donne les mêmes formes linéaires continues ce changement de topologie est avantageux si l'on doit, comme ci-dessus, la notion de sous-dinerentiabilité, ainsi que l'ensemble r (E) sont inaltérés par ce changement de topologie
, la topologie faible reste préférable pour invoquer une compacité. (*) Séance du 16 décembre, 1963.
, Compas rendus, 256, ig63, Faculté des Sciences de Montpellier, Séminaires de Mathématiques J963, p.1069
, Harvard University) (exploitant la même idée dans le cas E = R") emploie la notation a' = ~f(~) qui nous semble malencontreuse, ce signe = n'exprimant pas une équivalence entre les deux membres. Sous le nom de generalized gradient, la notion de sous-gradient intervient dans G, Convex functions and dual extremum problems (Thesis, vol.256, p.6047, 1963.
, Fonctions convexes en dualité, Faculté des Sciences de Montpellier, Séminaires de Mathématiques, 1969. (multigraphié, 1S pages). (Faculté des Sciences