Nonlocal p-Laplacian evolution problems on graphs
Résumé
L'équation d'évolution du p-Laplacien non-local, gouvernée par un noyau donné, a de très nombreuses applications pour modéliser les phénomènes de diffusion, notamment en traitement du signal et des images sur graphes. En pratique, cette équation d'évolution est implémenté sous une forme discrète (en temps et en espace) comme une approximation numérique du problème continu, où le noyau est remplacé par la matrice d'adjacence d'un graphe. La question naturelle est alors d'étudier la structure des solutions du problème discret et d'en établir la limite continue. C'est l'objectif poursuivi dans ce travail. En combinant des outils issus de la théorie des graphes et des équations d'évolution non-linéaires, nous donnons une interprétation rigoureuse à la limite continue du problème du p-Laplacien discret sur graphes. Plus spécifiquement, nous considérons une suite de graphes déterministes, pondérés dont l'objet limite est appelé graphon. L'équation d'évolution du p- Laplacien est alors discrétisée en temps et en espace sur cette suite de graphes. Ainsi, nous prouvons la convergence des solutions de la suite des problèmes discrétisés vers la solution du problème d'évolution continu gouverné par le graphon lorsque le nombre des nœuds du graphe tend vers l'infini. Ce faisant, nous exhibons le vitesse de convergence correspondante.
Origine : Fichiers produits par l'(les) auteur(s)
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