Reverse Hardy-Littlewood-Sobolev inequalities

José Carrillo (1) , Matías G Delgadino (1) , Jean Dolbeault (2) , Rupert L Frank (3, 4) , Franca Hoffmann (5)

1 Department of Mathematics [Imperial College London]
2 CEREMADE - CEntre de REcherches en MAthématiques de la DEcision
3 Mathematisches Institut, Ludwig-Maximilians Universität München
4 CALTECH - California Institute of Technology
5 Department of Computing and Mathematical sciences

This paper is devoted to a new family of reverse Hardy-Littlewood-Sobolev inequalities which involve a power law kernel with positive exponent. We investigate the range of the admissible parameters and the properties of the optimal functions. A striking open question is the possibility of concentration which is analyzed and related with free energy functionals and nonlinear diffusion equations involving mean field drifts.

Cet article est consacré à une nouvelle famille d'inégalités de Hardy-Little-wood-Sobolev inversées correspondant à un noyau en loi de puissances avec un ex-posant positif. Nous étudions le domaine des paramètres admissibles et les propriétés des fonctions optimales. Une question ouverte remarquable est la possibilité d'un phé-nomène de concentration, qui est analysé est relié à des fonctionnelles d'énergie libre et à des équations de diffusion non-linéaires avec termes de dérive donnés par un champ moyen.

Mots clés: uniqueness; Reverse Hardy-Littlewood-Sobolev inequalities; symmetrization; concentration; free energy; nonlinear diffusion; interpolation; existence of optimal functions; minimizer; regularity; mean field equations; measure valued solutions; nonlinear springs; Euler-Lagrange equations

Domaines: Equations aux dérivées partielles [math.AP]

José Carrillo, Matías G Delgadino, Jean Dolbeault, Rupert L Frank, Franca Hoffmann. Reverse Hardy-Littlewood-Sobolev inequalities. Journal de Mathématiques Pures et Appliquées, In press, ⟨10.1016/j.matpur.2019.09.001⟩. ⟨hal-01837888v2⟩