Analyse mathématique d'un modèle de digestion anaérobie avec phase d'hydrolyse
Résumé
Récemment, Weedermann et coll., [1] ont proposé un modèle de la digestion anaérobie en troisétapestroisétapes : l'acidogenèse, l'acétogenèse et la méthanogenèse. L'´ etude faite dans [1], combine etétendetétend des résultats récents de Sari et Hajji,[2], et de Hess et Bernard,[3], qui peuventêtrepeuventêtre considérés comme deux sous-modèles du modèle considéré dans [1]. Or, il estétabliestétabli que l'´ etape limitante de la digestion anaérobie est très souvent l'´ etape d'hydrolyse. Rajoutant cette phase au modèle de Weedermann, nousétudionsnousétudions ici un nouveau modèle en 4 ´ etapes. Dans un premier temps, on analyse les modèles proposés, avec et sans inhibition et on détermine le nombre et la nature de leurséquilibresleurséquilibres ainsi que leur propriétés de stabilité et leur région de stabilité. Ensuite, on s'intéresse aux taux de production de l'hydrogène et du méthane aux points d'´ equilibre. Pour chaqué equilibre, le taux de biogaz produit est déterminé. Mots clés: digestion anaérobie, chemostat, stabilité locale et globale, production de biogaz. 1 Analyse de modèles de la digestion anaérobie avec et sans inhibition La digestion anaérobie (D.A.) est un processus naturel au cours duquel lamatì ere organique est transformée en biogaz dans un milieu sans oxygène par l'action d'unécosystèmeunécosystème microbien. Il est utilisé pour le traitement des eaux usées ou des déchets et présente l'avantage de produire du méthane et/ou de l'hydrogène. La digestion anaérobie est un processus en quatré etapes comprenant l'hydrolyse, l'acidogenèse, l'acétogenèse, et la méthanogenèse. Au cours de lapremì eré etape, les molécules organiques complexes (X0) sont décomposées en substrats simples(S). Pendant l'acidogenèse, les bactéries acidogènes (XS) convertissent le substrat (S) en acide acétique (A), acides gras volatiles (ou AGV) (V) et alcools, hydrogène (H) et dioxyde de carbone. Ensuite, les AGV et les alcools sont utilisés par les bactéries acétogènes (XV) et convertis en acide acétique (A) ainsi qu'en dioxyde de carbone et hydrogène (H). Dans la phase finale, les méthanogènes acétoclastiques (XA) convertissent l'acide acétique (A) en méthane et en dioxyde de carbone, tandis que les méthanogènes hydrogénétrophes (XH) convertissent l'hydrogène (H) et le dioxyde de carbone en méthane. La digestion anaérobie est inhibée par un certain nombre de facteurs. Dans [1], deux d'entre eux sont intégrés: l'inhibition de la croissance des bactéries acétogènes par l'hydrogène et l'inhibition de la croissance des bactéries méthanogènes hy-drogénétrophes par l'acétate. Dans cette communication, nous considèrons deux modèles distincts: un modèle sans inhibition et un modèle avec inhibition. Le modèle général s'´ ecrit: dX 0 dt = D(X0in − X0) − k hyd X0 dS dt = D(Sin − S) − 1 cs gS(S)XS + k0k hyd X0 dX S dt = (gS(S) − D)XS dV dt = −DV + γsvgS(S)XS − 1 cv gV (V, H)XV dX V dt = (gV (V, H) − D)XV dA dt = −DA + γsagS(S)XS + γvagV (V, H)XV − 1 ca gA(A)XA dX A dt = (gA(A) − D)XA dH dt = −DH + γ sh gS(S)XS + γ vh gV (V, H)XV − 1 c h gH (H, A)XH dX H dt = (gH (H, A) − D)XH. (1) o` u X0in et Sin sont respectivement les concentrations de lamatì ere organique et celle du substratàsubstratà l'entrée du chémostat, D est le taux de dilution. k hyd , k0, cs, cv, ca, c h , γsv, γsa, γ sh , γva, γ vh sont des paramètres de rendement tandis que gV (V, H), gH (H, A), gS(S) et gA(A) sont les fonctions de croissance microbienne. Pour l = S, V, A et H, la fonction g l (l) est telle que: g l (0) = 0 et g ′ l (l) > 0. Nous prouvons que pour toutes valeurs initiales positives, les solutions du sys. (1) restent positives et bornées pour tout t ≥ 0.
Domaines
Systèmes dynamiques [math.DS]
Origine : Fichiers produits par l'(les) auteur(s)